Precálculo Ejemplos

$\sum_{i = 1}^{\infty} 12 {(- 0.7)}^{i - 1}$

Paso 1

La suma de una serie geométrica infinita se puede obtener mediante la fórmula $\frac{a}{1 - r}$ donde $a$ es el primer término y $r$ es la razón entre los términos sucesivos.

Paso 2

Obtén la razón de los términos sucesivos mediante la inserción en la fórmula $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ y la simplificación.

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Paso 2.1

Sustituye $a_{i}$ y $a_{i + 1}$ en la fórmula por $r$ .

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Paso 2.2

Simplifica.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $12$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$r = \frac{12 {(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{12 {(- 0.7)}^{i - 1}}$

Paso 2.2.1.2

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 1 - 1}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2

Cancela el factor común de ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ y ${(- 0.7)}^{i - 1}$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza ${(- 0.7)}^{i - 1}$ de ${(- 0.7)}^{i + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1}}$

Paso 2.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.2.2.2.1

Multiplica por $1$ .

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i - 1} {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{{(- 0.7)}^{i - 1} \cdot 1}$

Paso 2.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$r = \frac{{(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}}{1}$

Paso 2.2.2.2.4

Divide ${(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i + 0 - (i - 1)}$

Paso 2.2.3

Suma $i$ y $0$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - (i - 1)}$

Paso 2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$r = {(- 0.7)}^{i - i - - 1}$

Paso 2.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 0.7)}^{i - i + 1}$

Paso 2.2.5

Resta $i$ de $i$ .

$r = {(- 0.7)}^{0 + 1}$

Paso 2.2.6

Suma $0$ y $1$ .

$r = {(- 0.7)}^{1}$

Paso 2.2.7

Evalúa el exponente.

$r = - 0.7$

Paso 3

Since $| r | < 1$ , the series converges.

Paso 4

Obtén el primer término en la serie mediante la sustitución de la cota inferior y la simplificación.

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Paso 4.1

Sustituye $1$ por $i$ en $12 {(- 0.7)}^{i - 1}$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{1 - 1}$

Paso 4.2

Simplifica.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$a = 12 {(- 0.7)}^{0}$

Paso 4.2.2

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$a = 12 \cdot 1$

Paso 4.2.3

Multiplica $12$ por $1$ .

$a = 12$

Paso 5

Sustituye los valores de la razón y el primer término en la fórmula de suma.

$\frac{12}{1 + 0.7}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Suma $1$ y $0.7$ .

$\frac{12}{1.7}$

Paso 6.2

Divide $12$ por $1.7$ .

$7.05882352$