Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{3}$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{3}$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Usa el teorema del binomio.

$f (x + h) = 4 (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3})$

Paso 2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 4 (3 x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Paso 2.1.2.3

Simplifica.

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Paso 2.1.2.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 4 (3 x h^{2}) + 4 h^{3}$

Paso 2.1.2.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 (x^{2} h) + 12 (x h^{2}) + 4 h^{3}$

Paso 2.1.2.4

Elimina los paréntesis.

$f (x + h) = 4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Paso 2.1.2.5

La respuesta final es $4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$ .

$4 x^{3} + 12 x^{2} h + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $x^{2}$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 x h^{2} + 4 h^{3}$

Paso 2.2.2

Mueve $x$ .

$4 x^{3} + 12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3}$

Paso 2.2.3

Mueve $4 x^{3}$ .

$12 h x^{2} + 12 h^{2} x + 4 h^{3} + 4 x^{3}$

Paso 2.2.4

Mueve $12 h x^{2}$ .

$12 h^{2} x + 4 h^{3} + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Paso 2.2.5

Reordena $12 h^{2} x$ y $4 h^{3}$ .

$4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

$f (x + h) = 4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3}$

$f (x) = 4 x^{3}$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - (4 x^{3})}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 4 x^{3} - 4 x^{3}}{h}$

Paso 4.1.2

Resta $4 x^{3}$ de $4 x^{3}$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2} + 0}{h}$

Paso 4.1.3

Suma $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4

Factoriza $4 h$ de $4 h^{3} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}$ .

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Paso 4.1.4.1

Factoriza $4 h$ de $4 h^{3}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 12 h^{2} x + 12 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4.2

Factoriza $4 h$ de $12 h^{2} x$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 12 h x^{2}}{h}$

Paso 4.1.4.3

Factoriza $4 h$ de $12 h x^{2}$ .

$\frac{4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.4.4

Factoriza $4 h$ de $4 h \cdot h^{2} + 4 h (3 h x)$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})}{h}$

Paso 4.1.4.5

Factoriza $4 h$ de $4 h (h^{2} + 3 h x) + 4 h (3 x^{2})$ .

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$ por $1$ .

$4 (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 h^{2} + 4 (3 h x) + 4 (3 x^{2})$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 4 (3 x^{2})$

Paso 4.3.2

Multiplica $3$ por $4$ .

$4 h^{2} + 12 (h x) + 12 x^{2}$

Paso 4.4

Mueve $h$ .

$4 h^{2} + 12 x h + 12 x^{2}$

Paso 4.5

Mueve $4 h^{2}$ .

$12 x h + 12 x^{2} + 4 h^{2}$

Paso 4.6

Reordena $12 x h$ y $12 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 12 x h + 4 h^{2}$

Paso 5