Precálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

Paso 1

Considera la fórmula del cociente diferencial.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Paso 2

Obtén los componentes de la definición.

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Paso 2.1

Evalúa la función en $x = x + h$ .

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Paso 2.1.1

Reemplaza la variable $x$ con $x + h$ en la expresión.

$f (x + h) = 4 {(x + h)}^{2} - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2

Simplifica el resultado.

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Paso 2.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.1

Reescribe ${(x + h)}^{2}$ como $(x + h) (x + h)$ .

$f (x + h) = 4 ((x + h) (x + h)) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2

Expande $(x + h) (x + h)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.2.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x (x + h) + h (x + h)) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h (x + h)) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.1.2.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.2.1.3.1.1

Multiplica $x$ por $x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.1.2

Multiplica $h$ por $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2

Suma $x h$ y $h x$ .

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Paso 2.1.2.1.3.2.1

Reordena $x$ y $h$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.3.2.2

Suma $h x$ y $h x$ .

$f (x + h) = 4 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 4 (2 h x) + 4 h^{2} - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.5

Multiplica $2$ por $4$ .

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 (h x) + 4 h^{2} - 2 (x + h)$

Paso 2.1.2.1.6

Aplica la propiedad distributiva.

$f (x + h) = 4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$

Paso 2.1.2.2

La respuesta final es $4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 x - 2 h$

Paso 2.2

Reordena.

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Paso 2.2.1

Mueve $- 2 x$ .

$4 x^{2} + 8 h x + 4 h^{2} - 2 h - 2 x$

Paso 2.2.2

Mueve $4 x^{2}$ .

$8 h x + 4 h^{2} + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

Paso 2.2.3

Reordena $8 h x$ y $4 h^{2}$ .

$4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

Paso 2.3

Obtén los componentes de la definición.

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

$f (x + h) = 4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x$

$f (x) = 4 x^{2} - 2 x$

Paso 3

Inserta los componentes.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - (4 x^{2} - 2 x)}{h}$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - (4 x^{2}) - (- 2 x)}{h}$

Paso 4.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - 4 x^{2} - (- 2 x)}{h}$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x + 4 x^{2} - 2 h - 2 x - 4 x^{2} + 2 x}{h}$

Paso 4.1.4

Resta $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h - 2 x + 0 + 2 x}{h}$

Paso 4.1.5

Suma $4 h^{2}$ y $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h - 2 x + 2 x}{h}$

Paso 4.1.6

Suma $- 2 x$ y $2 x$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h + 0}{h}$

Paso 4.1.7

Suma $4 h^{2} + 8 h x - 2 h$ y $0$ .

$\frac{4 h^{2} + 8 h x - 2 h}{h}$

Paso 4.1.8

Factoriza $2 h$ de $4 h^{2} + 8 h x - 2 h$ .

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Paso 4.1.8.1

Factoriza $2 h$ de $4 h^{2}$ .

$\frac{2 h (2 h) + 8 h x - 2 h}{h}$

Paso 4.1.8.2

Factoriza $2 h$ de $8 h x$ .

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 x) - 2 h}{h}$

Paso 4.1.8.3

Factoriza $2 h$ de $- 2 h$ .

$\frac{2 h (2 h) + 2 h (4 x) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.8.4

Factoriza $2 h$ de $2 h (2 h) + 2 h (4 x)$ .

$\frac{2 h (2 h + 4 x) + 2 h \cdot - 1}{h}$

Paso 4.1.8.5

Factoriza $2 h$ de $2 h (2 h + 4 x) + 2 h \cdot - 1$ .

$\frac{2 h (2 h + 4 x - 1)}{h}$

Paso 4.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.2.1

Cancela el factor común de $h$ .

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Paso 4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 h (2 h + 4 x - 1)}{h}$

Paso 4.2.1.2

Divide $2 (2 h + 4 x - 1)$ por $1$ .

$2 (2 h + 4 x - 1)$

Paso 4.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 h) + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 h + 2 (4 x) + 2 \cdot - 1$

Paso 4.3.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$4 h + 8 x + 2 \cdot - 1$

Paso 4.3.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$4 h + 8 x - 2$

Paso 4.4

Reordena $4 h$ y $8 x$ .

$8 x + 4 h - 2$

Paso 5