Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x - 3$

Paso 1

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ .

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}$

Paso 2

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x + 1}$ cuando $x = - 1$ .

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Paso 2.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 1$	$2$	$- 3$

Paso 2.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 1$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 2.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 1)$ y coloca el resultado de $(- 2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$

Paso 2.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 1$	$2$	$- 3$
		$- 2$
	$2$	$- 5$

Paso 2.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 + \frac{- 5}{x + 1}$

Paso 2.6

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 - \frac{5}{x + 1}$

Paso 3

Como $- 1 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 1$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 1$

Paso 4

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x + \frac{1}{2}}$ cuando $x = - \frac{1}{2}$ .

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Paso 4.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

Paso 4.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 4.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$

Paso 4.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 1$
	$2$	$- 4$

Paso 4.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 + \frac{- 4}{x + \frac{1}{2}}$

Paso 4.6

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 - \frac{8}{2 x + 1}$

Paso 5

Como $- \frac{1}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{1}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{1}{2}$

Paso 6

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x - 3}$ cuando $x = 3$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$2$	$- 3$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$2$	$- 3$
		$6$
	$2$	$3$

Paso 6.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 + \frac{3}{x - 3}$

Paso 7

Como $3 > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $3$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $3$

Paso 8

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x + 3}$ cuando $x = - 3$ .

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Paso 8.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$2$	$- 3$

Paso 8.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 8.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 6)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$

Paso 8.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$2$	$- 3$
		$- 6$
	$2$	$- 9$

Paso 8.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 + \frac{- 9}{x + 3}$

Paso 8.6

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 - \frac{9}{x + 3}$

Paso 9

Como $- 3 < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- 3$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- 3$

Paso 10

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x - \frac{3}{2}}$ cuando $x = \frac{3}{2}$ .

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Paso 10.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Paso 10.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 10.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(\frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$

Paso 10.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$\frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$3$
	$2$	$0$

Paso 10.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2$

Paso 11

Como $\frac{3}{2} > 0$ y todos los signos en la fila inferior de la división sintética son positivos, $\frac{3}{2}$ es una cota superior para las raíces reales de la función.

Cota superior: $\frac{3}{2}$

Paso 12

Aplica la regla de división sintética en $\frac{2 x - 3}{x + \frac{3}{2}}$ cuando $x = - \frac{3}{2}$ .

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Paso 12.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

Paso 12.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$

	$2$

Paso 12.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{3}{2})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$

Paso 12.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{3}{2}$	$2$	$- 3$
		$- 3$
	$2$	$- 6$

Paso 12.5

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 + \frac{- 6}{x + \frac{3}{2}}$

Paso 12.6

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 - \frac{12}{2 x + 3}$

Paso 13

Como $- \frac{3}{2} < 0$ y los signos en la fila inferior del signo alternativo de la división sintética, $- \frac{3}{2}$ es una cota inferior para las raíces reales de la función.

Cota inferior: $- \frac{3}{2}$

Paso 14

Determina los límites superior e inferior.

Cotas superiores: $3, \frac{3}{2}$

Cotas inferiores: $- 1, - \frac{1}{2}, - 3, - \frac{3}{2}$

Paso 15