Precálculo Ejemplos

$f (x) = 5 x^{2} + 3 x - 7$

Paso 1

El mínimo de una función cuadrática se produce en $x = - \frac{b}{2 a}$ . Si $a$ es positiva, el valor mínimo de la función es $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín.}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocurre en $x = - \frac{b}{2 a}$

Paso 2

Obtén el valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 2.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ .

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Paso 2.2

Elimina los paréntesis.

$x = - \frac{3}{2 (5)}$

Paso 2.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$x = - \frac{3}{10}$

Paso 3

Evalúa $f (- \frac{3}{10})$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{3}{10}$ en la expresión.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 {(- \frac{3}{10})}^{2} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2

Simplifica el resultado.

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Paso 3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 3.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{10})}^{2}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (1 (\frac{3^{2}}{10^{2}})) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.3

Multiplica $\frac{3^{2}}{10^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{3^{2}}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.4

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{10^{2}}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.5

Eleva $10$ a la potencia de $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{100}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.6

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 3.2.1.6.1

Factoriza $5$ de $100$ .

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 (20)}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.6.2

Cancela el factor común.

$f (- \frac{3}{10}) = 5 (\frac{9}{5 \cdot 20}) + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.6.3

Reescribe la expresión.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + 3 (- \frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.7

Multiplica $3 (- \frac{3}{10})$ .

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Paso 3.2.1.7.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - 3 (\frac{3}{10}) - 7$

Paso 3.2.1.7.2

Combina $- 3$ y $\frac{3}{10}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 3 \cdot 3}{10} - 7$

Paso 3.2.1.7.3

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} + \frac{- 9}{10} - 7$

Paso 3.2.1.8

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9}{10} - 7$

Paso 3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - (\frac{9}{10} \cdot \frac{2}{2}) - 7$

Paso 3.2.2.2

Multiplica $\frac{9}{10}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} - 7$

Paso 3.2.2.3

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1}$

Paso 3.2.2.4

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{20}{20}$

Paso 3.2.2.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{20}{20}$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Paso 3.2.2.6

Reordena los factores de $10 \cdot 2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{2 \cdot 10} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Paso 3.2.2.7

Multiplica $2$ por $10$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9}{20} - \frac{9 \cdot 2}{20} + \frac{- 7 \cdot 20}{20}$

Paso 3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 - 7 \cdot 20}{20}$

Paso 3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.4.1

Multiplica $- 9$ por $2$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 7 \cdot 20}{20}$

Paso 3.2.4.2

Multiplica $- 7$ por $20$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{9 - 18 - 140}{20}$

Paso 3.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.5.1

Resta $18$ de $9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 9 - 140}{20}$

Paso 3.2.5.2

Resta $140$ de $- 9$ .

$f (- \frac{3}{10}) = \frac{- 149}{20}$

Paso 3.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (- \frac{3}{10}) = - \frac{149}{20}$

Paso 3.2.6

La respuesta final es $- \frac{149}{20}$ .

$- \frac{149}{20}$

Paso 4

Usa los valores $x$ y $y$ para obtener dónde ocurre el mínimo.

$(- \frac{3}{10}, - \frac{149}{20})$

Paso 5