Precálculo Ejemplos

$v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Paso 1

Escribe $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ como una ecuación.

$y = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{\sqrt{- y}}{3} - 3$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$ .

$\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$

Paso 3.2

Resuelve $\sqrt{- y}$

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Paso 3.2.1

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{\sqrt{- y}}{3} = x + 3$

Paso 3.2.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $3$ .

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Paso 3.2.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.2.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.3.1.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.2.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

Paso 3.2.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\sqrt{- y} = 3 (x + 3)$

Paso 3.2.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.3.2.1

Simplifica $3 (x + 3)$ .

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Paso 3.2.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sqrt{- y} = 3 x + 3 \cdot 3$

Paso 3.2.3.2.1.2

Multiplica $3$ por $3$ .

$\sqrt{- y} = 3 x + 9$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- y}$ como ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(- y)}^{1} = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$- y = {(3 x + 9)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(3 x + 9)}^{2}$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Reescribe ${(3 x + 9)}^{2}$ como $(3 x + 9) (3 x + 9)$ .

$- y = (3 x + 9) (3 x + 9)$

Paso 3.4.3.1.2

Expande $(3 x + 9) (3 x + 9)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 3.4.3.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- y = 3 x (3 x + 9) + 9 (3 x + 9)$

Paso 3.4.3.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x + 9)$

Paso 3.4.3.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 3.4.3.1.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.1.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$- y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.3.1.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$- y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.4

Multiplica $9$ por $3$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.5

Multiplica $3$ por $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 9 \cdot 9$

Paso 3.4.3.1.3.1.6

Multiplica $9$ por $9$ .

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 81$

Paso 3.4.3.1.3.2

Suma $27 x$ y $27 x$ .

$- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$

Paso 3.5

Divide cada término en $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ por $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{y}{1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.5.3.1.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{9 x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.2

Reescribe $- 1 \cdot (9 x^{2})$ como $- (9 x^{2})$ .

$y = - (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.3

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.4

Mueve el negativo del denominador de $\frac{54 x}{- 1}$ .

$y = - 9 x^{2} - 1 \cdot (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.5

Reescribe $- 1 \cdot (54 x)$ como $- (54 x)$ .

$y = - 9 x^{2} - (54 x) + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.6

Multiplica $54$ por $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x + \frac{81}{- 1}$

Paso 3.5.3.1.7

Divide $81$ por $- 1$ .

$y = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Paso 4

Replace $y$ with $v^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

Paso 5

Verifica si $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ es la inversa de $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $v^{- 1} (v (x)) = x$ y $v (v^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $v^{- 1} (v (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$v^{- 1} (v (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ mediante la sustitución del valor de $v$ en $v^{- 1}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 {(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2} - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Reescribe ${(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2}$ como $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 ((\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.2

Expande $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 5.2.3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 5.2.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.3.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

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Paso 5.2.3.3.1.1.1

Multiplica $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ por $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.1.2

Eleva $\sqrt{- x}$ a la potencia de $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.1.3

Eleva $\sqrt{- x}$ a la potencia de $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.1.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.1.6

Multiplica $3$ por $3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2

Reescribe ${\sqrt{- x}}^{2}$ como $- x$ .

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Paso 5.2.3.3.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{- x}$ como ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.1.2.4.1

Cancela el factor común.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2.4.2

Reescribe la expresión.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.2.5

Simplifica.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.3.1.4.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 (- 1)) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.4.2

Cancela el factor común.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.4.3

Reescribe la expresión.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \sqrt{- x} \cdot - 1 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.5

Mueve $- 1$ a la izquierda de $\sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 1 \cdot \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.6

Reescribe $- 1 \sqrt{- x}$ como $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.3.1.7.1

Factoriza $3$ de $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.7.2

Cancela el factor común.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.7.3

Reescribe la expresión.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 1 \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.8

Reescribe $- 1 \sqrt{- x}$ como $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.1.9

Multiplica $- 3$ por $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.3.2

Resta $\sqrt{- x}$ de $- \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 2 \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5

Simplifica.

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Paso 5.2.3.5.1

Cancela el factor común de $9$ .

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Paso 5.2.3.5.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{x}{9}$ al numerador.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 \frac{- x}{9} - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.1.2

Factoriza $9$ de $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.1.3

Cancela el factor común.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.1.4

Reescribe la expresión.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 1 (- x) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 1 x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.4

Multiplica $- 2$ por $- 9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.5.5

Multiplica $- 9$ por $9$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

Paso 5.2.3.6

Aplica la propiedad distributiva.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 54 \cdot - 3 - 81$

Paso 5.2.3.7

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 54$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 (- 18) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Paso 5.2.3.7.2

Cancela el factor común.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 \cdot (- 18 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

Paso 5.2.3.7.3

Reescribe la expresión.

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} - 54 \cdot - 3 - 81$

Paso 5.2.3.8

Multiplica $- 54$ por $- 3$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$

Paso 5.2.4

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los términos opuestos en $x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$ .

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Paso 5.2.4.1.1

Resta $18 \sqrt{- x}$ de $18 \sqrt{- x}$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0 - 81 + 162 - 81$

Paso 5.2.4.1.2

Suma $x$ y $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 81 + 162 - 81$

Paso 5.2.4.2

Suma $- 81$ y $162$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 81 - 81$

Paso 5.2.4.3

Combina los términos opuestos en $x + 81 - 81$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Resta $81$ de $81$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0$

Paso 5.2.4.3.2

Suma $x$ y $0$ .

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x$

Paso 5.3

Evalúa $v (v^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$v (v^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $v (- 9 x^{2} - 54 x - 81)$ mediante la sustitución del valor de $v^{- 1}$ en $v$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 x^{2} - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $9$ de $- 9 x^{2} - 54 x - 81$ .

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Paso 5.3.3.1.1.1

Factoriza $9$ de $- 9 x^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) - 54 x - 81)}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.1.2

Factoriza $9$ de $- 54 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) - 81)}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.1.3

Factoriza $9$ de $- 81$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.1.4

Factoriza $9$ de $9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.1.5

Factoriza $9$ de $9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 5.3.3.1.2.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ y cuya suma es $b = - 6$ .

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Paso 5.3.3.1.2.1.1

Factoriza $- 6$ de $- 6 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2.1.2

Reescribe $- 6$ como $- 3$ más $- 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} + (- 3 - 3) x - 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 3 x - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 5.3.3.1.2.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x^{2} - 3 x) - 3 x - 9))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (x (- x - 3) + 3 (- x - 3)))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.2.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x - 3) (x + 3)))}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3

Combina exponentes.

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Paso 5.3.3.1.3.1

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.2

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 1 \cdot 3) (x + 3))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.4

Reescribe $- (x + 3)$ como $- 1 (x + 3)$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- 1 (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.5

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.6

Eleva $x + 3$ a la potencia de $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{1 + 1}))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.8

Suma $1$ y $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{2}))}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.3.9

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 {(x + 3)}^{2})}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.4

Multiplica $- 1$ por $- 9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.5

Reescribe $9 {(x + 3)}^{2}$ como ${(3 (x + 3))}^{2}$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{{(3 (x + 3))}^{2}}}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.6

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.7

Aplica la propiedad distributiva.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.8

Multiplica $3$ por $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 9}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.9

Factoriza $3$ de $3 x + 9$ .

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Paso 5.3.3.1.9.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x) + 9}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.9.2

Factoriza $3$ de $9$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

Paso 5.3.3.1.9.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

Paso 5.3.3.2.2

Divide $x + 3$ por $1$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 3 - 3$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 3 - 3$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $3$ de $3$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x$

Paso 5.4

Como $v^{- 1} (v (x)) = x$ y $v (v^{- 1} (x)) = x$ , entonces $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ es la inversa de $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ .

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$