Precálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x + 6)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \ln (x + 6)$ como una ecuación.

$y = \ln (x + 6)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \ln (y + 6)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (y + 6) = x$ .

$\ln (y + 6) = x$

Paso 3.2

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (y + 6)} = e^{x}$

Paso 3.3

Reescribe $\ln (y + 6) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = y + 6$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $y + 6 = e^{x}$ .

$y + 6 = e^{x}$

Paso 3.4.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$y = e^{x} - 6$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$ es la inversa de $f (x) = \ln (x + 6)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln (x + 6))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = e^{\ln (x + 6)} - 6$

Paso 5.2.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x + 6 - 6$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 6 - 6$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $6$ de $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 6)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (e^{x} - 6)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln ((e^{x} - 6) + 6)$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(e^{x} - 6) + 6$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 6$ y $6$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln (e^{x} + 0)$

Paso 5.3.3.2

Suma $e^{x}$ y $0$ .

$f (e^{x} - 6) = \ln (e^{x})$

Paso 5.3.4

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (e^{x} - 6) = x \ln (e)$

Paso 5.3.5

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (e^{x} - 6) = x \cdot 1$

Paso 5.3.6

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (e^{x} - 6) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$ es la inversa de $f (x) = \ln (x + 6)$ .

$f^{- 1} (x) = e^{x} - 6$