Precálculo Ejemplos

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

Paso 1

Escribe $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ como una ecuación.

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $2 y + \frac{1}{3} = x$ .

$2 y + \frac{1}{3} = x$

Paso 3.2

Resta $\frac{1}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$2 y = x - \frac{1}{3}$

Paso 3.3

Divide cada término en $2 y = x - \frac{1}{3}$ por $2$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $2 y = x - \frac{1}{3}$ por $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.3.3.1.2.1

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{3}$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ es la inversa de $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1.1

Para escribir $2 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.1.2

Combina $2 x$ y $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Multiplica $\frac{6 x + 1}{3}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.3.3.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $6 x + 1 - 1$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{6}$ al numerador.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.3.2

Factoriza $2$ de $6$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.3.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.3.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.3.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ .

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Paso 5.3.4.1

Suma $- \frac{1}{3}$ y $\frac{1}{3}$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ es la inversa de $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$