Precálculo Ejemplos

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Paso 1

Escribe $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ como una ecuación.

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ .

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

Paso 3.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

Paso 3.2.3

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.3.1

Mueve $3$ a la izquierda de $y$ .

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

Paso 3.2.3.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$\ln (3 y + 6) = x$

Paso 3.3

Para resolver $y$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

Paso 3.4

Reescribe $\ln (3 y + 6) = x$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{x} = 3 y + 6$

Paso 3.5

Resuelve $y$

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Paso 3.5.1

Reescribe la ecuación como $3 y + 6 = e^{x}$ .

$3 y + 6 = e^{x}$

Paso 3.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y = e^{x} - 6$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $3 y = e^{x} - 6$ por $3$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $3 y = e^{x} - 6$ por $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.5.3.3.1

Divide $- 6$ por $3$ .

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ es la inversa de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

Paso 5.2.3

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

Paso 5.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.4.1.1

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.3

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.5

Factoriza $3$ de $3 x + 6$ .

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Paso 5.2.4.1.5.1

Factoriza $3$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.5.2

Factoriza $3$ de $6$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

Paso 5.2.4.1.5.3

Factoriza $3$ de $3 x + 3 \cdot 2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Paso 5.2.4.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

Paso 5.2.4.2.2

Divide $x + 2$ por $1$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

Paso 5.2.5

Combina los términos opuestos en $x + 2 - 2$ .

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Paso 5.2.5.1

Resta $2$ de $2$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

Paso 5.2.5.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{e^{x}}{3}$ y $0$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

Paso 5.3.4

Usa las propiedades de los logaritmos del producto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

Paso 5.3.6

Usa las reglas de logaritmos para mover $x$ fuera del exponente.

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

Paso 5.3.7

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

Paso 5.3.8

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ es la inversa de $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$