Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ como una ecuación.

$y = \frac{8 x - 6}{15}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{8 y - 6}{15}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{8 y - 6}{15} = x$ .

$\frac{8 y - 6}{15} = x$

Paso 3.2

Multiplica ambos lados por $15$ .

$\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1.1

Simplifica $\frac{8 y - 6}{15} \cdot 15$ .

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Paso 3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 y - 6$ .

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Paso 3.3.1.1.1.1

Factoriza $2$ de $8 y$ .

$\frac{2 (4 y) - 6}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.1.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 (4 y) + 2 (- 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 y) + 2 (- 3)$ .

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.2

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 3.3.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 (4 y - 3)}{15} \cdot 15 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$2 (4 y - 3) = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 y) + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.4

Multiplica.

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Paso 3.3.1.1.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 y + 2 \cdot - 3 = x \cdot 15$

Paso 3.3.1.1.4.2

Multiplica $2$ por $- 3$ .

$8 y - 6 = x \cdot 15$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.1

Mueve $15$ a la izquierda de $x$ .

$8 y - 6 = 15 x$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y = 15 x + 6$

Paso 3.4.2

Divide cada término en $8 y = 15 x + 6$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.4.2.1

Divide cada término en $8 y = 15 x + 6$ por $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.4.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y}{8} = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Paso 3.4.2.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{6}{8}$

Paso 3.4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.3.1

Cancela el factor común de $6$ y $8$ .

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Paso 3.4.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 (3)}{8}$

Paso 3.4.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.3.1.2.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4}$

Paso 3.4.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{8 x - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Factoriza $2$ de $8 x - 6$ .

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Paso 5.2.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) - 6}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x) + 2 (- 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 x) + 2 (- 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{15 (\frac{2 (4 x - 3)}{15})}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.2

Combina $15$ y $\frac{2 (4 x - 3)}{15}$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $15$ por $2$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{30 (4 x - 3)}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.4

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.1

Reduce la expresión $\frac{30 (4 x - 3)}{15}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.3.4.1.1

Factoriza $15$ de $30 (4 x - 3)$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.2

Factoriza $15$ de $15$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 (1)}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.3

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{15 (2 (4 x - 3))}{15 \cdot 1}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.4.1.4

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{\frac{2 (4 x - 3)}{1}}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.4.2

Divide $2 (4 x - 3)$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{8} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.2.3.5.1

Factoriza $2$ de $8$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.5.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{2 (4 x - 3)}{2 \cdot 4} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.3.5.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3}{4} + \frac{3}{4}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x - 3 + 3}{4}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $4 x - 3 + 3$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Suma $- 3$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = \frac{4 x}{4}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{8 x - 6}{15}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6}{15}$

Paso 5.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.3.1

Factoriza $2$ de $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 6$ .

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Paso 5.3.3.1.1

Factoriza $2$ de $8 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) - 6}{15}$

Paso 5.3.3.1.2

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)}{15}$

Paso 5.3.3.1.3

Factoriza $2$ de $2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4})) + 2 (- 3)$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{8}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 (2)}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (4 (\frac{15 x}{4 \cdot 2}) + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 4 (\frac{3}{4}) - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 3 - 3)}{15}$

Paso 5.3.3.5

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2} + 0)}{15}$

Paso 5.3.3.6

Suma $\frac{15 x}{2}$ y $0$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{2 (\frac{15 x}{2})}{15}$

Paso 5.3.4

Combina $2$ y $\frac{15 x}{2}$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Paso 5.3.5

Multiplica $2$ por $15$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{30 x}{2}}{15}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Reduce la expresión $\frac{30 x}{2}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1.1

Factoriza $2$ de $30 x$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2}}{15}$

Paso 5.3.6.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 (1)}}{15}$

Paso 5.3.6.1.3

Cancela el factor común.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{2 (15 x)}{2 \cdot 1}}{15}$

Paso 5.3.6.1.4

Reescribe la expresión.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{\frac{15 x}{1}}{15}$

Paso 5.3.6.2

Divide $15 x$ por $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Paso 5.3.7

Cancela el factor común de $15$ .

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Paso 5.3.7.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = \frac{15 x}{15}$

Paso 5.3.7.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$ es la inversa de $f (x) = \frac{8 x - 6}{15}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{15 x}{8} + \frac{3}{4}$