Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{1}{2 x + 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{1}{2 y + 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{1}{2 y + 5} = x$ .

$\frac{1}{2 y + 5} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$2 y + 5, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$2 y + 5, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$2 y + 5$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 y + 5} = x$ por $2 y + 5$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{2 y + 5} = x$ por $2 y + 5$ .

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $2 y + 5$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{1}{2 y + 5} (2 y + 5) = x (2 y + 5)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$1 = x (2 y + 5)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$1 = x (2 y) + x \cdot 5$

Paso 3.3.3.2

Reordena.

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Paso 3.3.3.2.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$1 = 2 x y + x \cdot 5$

Paso 3.3.3.2.2

Mueve $5$ a la izquierda de $x$ .

$1 = 2 x y + 5 x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $2 x y + 5 x = 1$ .

$2 x y + 5 x = 1$

Paso 3.4.2

Resta $5 x$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x y = 1 - 5 x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $2 x y = 1 - 5 x$ por $2 x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $2 x y = 1 - 5 x$ por $2 x$ .

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x y}{2 x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5 x}{2 x}$

Paso 3.4.3.3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{1}{2 x} + \frac{- 5}{2}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x + 5})} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Combina $2$ y $\frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{1}{\frac{2}{2 x + 5}} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = 1 (\frac{2 x + 5}{2}) - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $\frac{2 x + 5}{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5}{2} - \frac{5}{2}$

Paso 5.2.4

Simplifica los términos.

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Paso 5.2.4.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 5 - 5}{2}$

Paso 5.2.4.2

Combina los términos opuestos en $2 x + 5 - 5$ .

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Paso 5.2.4.2.1

Resta $5$ de $5$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Paso 5.2.4.2.2

Suma $2 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.3.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (\frac{1}{2 x + 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Factoriza $2$ de $2 x$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 (x)}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.2.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{2 (\frac{1}{2 x}) + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (- \frac{5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.3.3.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{5}{2}$ al numerador.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.3.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 2 (\frac{- 5}{2}) + 5}$

Paso 5.3.3.3.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} - 5 + 5}$

Paso 5.3.3.4

Suma $- 5$ y $5$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.5

Suma $\frac{1}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = \frac{1}{\frac{1}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = 1 x$

Paso 5.3.5

Multiplica $x$ por $1$ .

$f (\frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$ es la inversa de $f (x) = \frac{1}{2 x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{1}{2 x} - \frac{5}{2}$