Precálculo Ejemplos

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

Paso 1

Escribe $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ como una ecuación.

$y = 3^{x + 1} - 2$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 3^{y + 1} - 2$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $3^{y + 1} - 2 = x$ .

$3^{y + 1} - 2 = x$

Paso 3.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$3^{y + 1} = x + 2$

Paso 3.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

Paso 3.4

Expande $\ln (3^{y + 1})$ ; para ello, mueve $y + 1$ fuera del logaritmo.

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.1

Simplifica $(y + 1) \ln (3)$ .

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Paso 3.5.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.5.1.2

Multiplica $\ln (3)$ por $1$ .

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

Paso 3.6

Mueve todos los términos que contengan un logaritmo al lado izquierdo de la ecuación.

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

Paso 3.7

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

Paso 3.8

Resta $\ln (\frac{3}{x + 2})$ de ambos lados de la ecuación.

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

Paso 3.9

Divide cada término en $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ por $\ln (3)$ y simplifica.

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Paso 3.9.1

Divide cada término en $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ por $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Paso 3.9.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.9.2.1

Cancela el factor común de $\ln (3)$ .

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Paso 3.9.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Paso 3.9.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Paso 3.9.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.9.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 2$ y $2$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

Paso 5.2.3.2

Suma $3^{x + 1}$ y $0$ .

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Paso 5.3.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ es la inversa de $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$