Precálculo Ejemplos

$f (x) = 8 x^{3} - 5$

Paso 1

Escribe $f (x) = 8 x^{3} - 5$ como una ecuación.

$y = 8 x^{3} - 5$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = 8 y^{3} - 5$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $8 y^{3} - 5 = x$ .

$8 y^{3} - 5 = x$

Paso 3.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$8 y^{3} = x + 5$

Paso 3.3

Divide cada término en $8 y^{3} = x + 5$ por $8$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $8 y^{3} = x + 5$ por $8$ .

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8 y^{3}}{8} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} = \frac{x}{8} + \frac{5}{8}$

Paso 3.4

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$y = \sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$

Paso 3.5

Simplifica $\sqrt[3]{\frac{x}{8} + \frac{5}{8}}$ .

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Paso 3.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \sqrt[3]{\frac{x + 5}{8}}$

Paso 3.5.2

Reescribe $\frac{x + 5}{8}$ como ${(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{3}$ de $x + 5$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{8}}$

Paso 3.5.2.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{3}$ de $8$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}}$

Paso 3.5.2.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{3} (x + 5)}{2^{3} \cdot 1}$ .

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (x + 5)}$

Paso 3.5.3

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{x + 5}$

Paso 3.5.4

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt[3]{x + 5}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (8 x^{3} - 5)$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{(8 x^{3} - 5) + 5}}{2}$

Paso 5.2.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.3.1

Suma $- 5$ y $5$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Paso 5.2.3.2

Suma $8 x^{3}$ y $0$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe $8 x^{3}$ como ${(2 x)}^{3}$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Paso 5.2.3.4

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = \frac{2 x}{2}$

Paso 5.2.4.2

Divide $x$ por $1$ .

$f^{- 1} (8 x^{3} - 5) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 {(\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2})}^{3} - 5$

Paso 5.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.3.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{\sqrt[3]{x + 5}}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2

Reescribe ${\sqrt[3]{x + 5}}^{3}$ como $x + 5$ .

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Paso 5.3.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x + 5}$ como ${(x + 5)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{({(x + 5)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.3.2.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{{(x + 5)}^{\frac{3}{3}}}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.2.5

Simplifica.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{2^{3}}) - 5$

Paso 5.3.3.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Paso 5.3.3.4

Cancela el factor común de $8$ .

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Paso 5.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = 8 (\frac{x + 5}{8}) - 5$

Paso 5.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 5 - 5$

Paso 5.3.4

Combina los términos opuestos en $x + 5 - 5$ .

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Paso 5.3.4.1

Resta $5$ de $5$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x + 0$

Paso 5.3.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$ es la inversa de $f (x) = 8 x^{3} - 5$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{x + 5}}{2}$