Precálculo Ejemplos

$f (x) = e^{x + 4}$

Paso 1

Escribe $f (x) = e^{x + 4}$ como una ecuación.

$y = e^{x + 4}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = e^{y + 4}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $e^{y + 4} = x$ .

$e^{y + 4} = x$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{y + 4}) = \ln (x)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{y + 4})$ ; para ello, mueve $y + 4$ fuera del logaritmo.

$(y + 4) \ln (e) = \ln (x)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$(y + 4) \cdot 1 = \ln (x)$

Paso 3.3.3

Multiplica $y + 4$ por $1$ .

$y + 4 = \ln (x)$

Paso 3.4

Resta $4$ de ambos lados de la ecuación.

$y = \ln (x) - 4$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ es la inversa de $f (x) = e^{x + 4}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (e^{x + 4})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = \ln (e^{x + 4}) - 4$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Usa las reglas de logaritmos para mover $x + 4$ fuera del exponente.

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \ln (e) - 4$

Paso 5.2.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = (x + 4) \cdot 1 - 4$

Paso 5.2.3.3

Multiplica $x + 4$ por $1$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 4 - 4$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 4 - 4$ .

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Paso 5.2.4.1

Resta $4$ de $4$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (e^{x + 4}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\ln (x) - 4)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{(\ln (x) - 4) + 4}$

Paso 5.3.3

Combina los términos opuestos en $(\ln (x) - 4) + 4$ .

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Paso 5.3.3.1

Suma $- 4$ y $4$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x) + 0}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\ln (x)$ y $0$ .

$f (\ln (x) - 4) = e^{\ln (x)}$

Paso 5.3.4

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (x) - 4) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$ es la inversa de $f (x) = e^{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \ln (x) - 4$