Precálculo Ejemplos

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ como una ecuación.

$y = - \sqrt{x + 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = - \sqrt{y + 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $- \sqrt{y + 1} = x$ .

$- \sqrt{y + 1} = x$

Paso 3.2

Divide cada término en $- \sqrt{y + 1} = x$ por $- 1$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.1

Divide cada término en $- \sqrt{y + 1} = x$ por $- 1$ .

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.2.2

Divide $\sqrt{y + 1}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

Paso 3.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{x}{- 1}$ .

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

Paso 3.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot x$ como $- x$ .

$\sqrt{y + 1} = - x$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y + 1}$ como ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1

Simplifica ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica.

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Simplifica ${(- x)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1.1

Aplica la regla del producto a $- x$ .

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

Paso 3.4.3.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$y + 1 = 1 x^{2}$

Paso 3.4.3.1.3

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$y + 1 = x^{2}$

Paso 3.5

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$y = x^{2} - 1$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $- \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Paso 5.2.3.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Paso 5.2.3.3

Multiplica ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ por $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

Paso 5.2.3.4

Reescribe ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ como $x + 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

Paso 5.2.3.4.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

Paso 5.2.3.4.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Paso 5.2.3.4.4

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.3.4.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

Paso 5.2.3.4.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Paso 5.2.3.4.5

Simplifica.

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x + 1 - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.4.1

Resta $1$ de $1$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (x^{2} - 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

Paso 5.3.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

Paso 5.3.4

Suma $x^{2}$ y $0$ .

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

Paso 5.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (x^{2} - 1) = - x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ es la inversa de $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$