Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ como una ecuación.

$y = \frac{x + 3}{x - 2}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{y + 3}{y - 2}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $y - 2$ .

$(y - 2) (x) = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y x - 2 x = (\frac{y + 3}{y - 2}) (y - 2)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $y - 2$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y x - 2 x = \frac{y + 3}{y - 2} (y - 2)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y x - 2 x = y + 3$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $y$ de ambos lados de la ecuación.

$y x - 2 x - y = 3$

Paso 3.4.2

Suma $2 x$ a ambos lados de la ecuación.

$y x - y = 3 + 2 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $y$ de $y x - y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $y$ de $y x$ .

$y (x) - y = 3 + 2 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $y$ de $- y$ .

$y (x) + y \cdot - 1 = 3 + 2 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $y$ de $y (x) + y \cdot - 1$ .

$y (x - 1) = 3 + 2 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $y (x - 1) = 3 + 2 x$ por $x - 1$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $y (x - 1) = 3 + 2 x$ por $x - 1$ .

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 1)}{x - 1} = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{3}{x - 1} + \frac{2 x}{x - 1}$

Paso 3.4.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.4.3.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{(\frac{x + 3}{x - 2}) - 1}$

Paso 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 2$ .

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Paso 5.2.3.1

Multiplica $\frac{3 + 2 \frac{x + 3}{x - 2}}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$ por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x - 2}{x - 2} \cdot \frac{3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2})}{\frac{x + 3}{x - 2} - 1}$

Paso 5.2.3.2

Combinar.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2} - 1)}$

Paso 5.2.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{(x - 2) (\frac{x + 3}{x - 2}) + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 3 + (x - 2) \cdot 2 \frac{x + 3}{x - 2}$ .

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Paso 5.2.6.1.1

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) \cdot 3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3) + (x - 2) (2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.1.2

Factoriza $x - 2$ de $(x - 2) (3) + (x - 2) (2 \frac{x + 3}{x - 2})$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + 2 (\frac{x + 3}{x - 2}))}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.2

Combina $2$ y $\frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (3 + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.3

Para escribir $3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2)}{x - 2} + \frac{2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5

Reescribe $\frac{3 (x - 2) + 2 (x + 3)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.6.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x + 3 \cdot - 2 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.2

Multiplica $3$ por $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 (x + 3)}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.3

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 2 \cdot 3}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.4

Multiplica $2$ por $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{3 x - 6 + 2 x + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.5

Suma $3 x$ y $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x - 6 + 6}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.6

Suma $- 6$ y $6$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x + 0}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.6.5.7

Suma $5 x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + (x - 2) \cdot - 1}$

Paso 5.2.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 + x \cdot - 1 - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.2.7.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x - 2 \cdot - 1}$

Paso 5.2.7.3

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - 1 \cdot x + 2}$

Paso 5.2.7.4

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{x + 3 - x + 2}$

Paso 5.2.7.5

Resta $x$ de $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{0 + 3 + 2}$

Paso 5.2.7.6

Suma $0$ y $3$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{3 + 2}$

Paso 5.2.7.7

Suma $3$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{(x - 2) (\frac{5 x}{x - 2})}{5}$

Paso 5.2.8

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $\frac{5 x}{x - 2}$ de $\frac{(x - 2) \frac{5 x}{x - 2}}{5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.2.8.2.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Paso 5.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{5 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{5}$

Paso 5.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.2.8.3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.2.8.3.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.2.8.3.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{x + 3}{x - 2}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{3 + 2 x}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + 3}{(\frac{3 + 2 x}{x - 1}) - 2}$

Paso 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

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Paso 5.3.3.1

Multiplica $\frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$ por $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3}{\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2}$

Paso 5.3.3.2

Combinar.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} + 3)}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1} - 2)}$

Paso 5.3.4

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5

Simplifica mediante la cancelación.

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.5.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.2

Cancela el factor común de $x - 1$ .

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Paso 5.3.5.2.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{(x - 1) (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.5.2.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + (x - 1) \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6

Simplifica el numerador.

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Paso 5.3.6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + x \cdot 3 - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.2

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 1 \cdot 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{3 + 2 x + 3 \cdot x - 3}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.4

Resta $3$ de $3$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x + 0}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.5

Suma $2 x + 3 x$ y $0$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{2 x + 3 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.6.6

Suma $2 x$ y $3 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + (x - 1) \cdot - 2}$

Paso 5.3.7

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.7.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Paso 5.3.7.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{3 + 2 x - 2 \cdot x + 2}$

Paso 5.3.7.4

Suma $3$ y $2$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{2 x - 2 x + 5}$

Paso 5.3.7.5

Resta $2 x$ de $2 x$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{0 + 5}$

Paso 5.3.7.6

Suma $0$ y $5$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 5.3.8.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = \frac{5 x}{5}$

Paso 5.3.8.2

Divide $x$ por $1$ .

$f (\frac{3 + 2 x}{x - 1}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$ es la inversa de $f (x) = \frac{x + 3}{x - 2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 + 2 x}{x - 1}$