Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ como una ecuación.

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Multiplica la ecuación por $3 y - 5$ .

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Paso 3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

Paso 3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $3 y - 5$ .

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Paso 3.3.1.1

Cancela el factor común.

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

Paso 3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$3 y x - 5 x = 6 y$

Paso 3.4

Resuelve $y$

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Paso 3.4.1

Resta $6 y$ de ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

Paso 3.4.2

Suma $5 x$ a ambos lados de la ecuación.

$3 y x - 6 y = 5 x$

Paso 3.4.3

Factoriza $3 y$ de $3 y x - 6 y$ .

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $3 y$ de $3 y x$ .

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

Paso 3.4.3.2

Factoriza $3 y$ de $- 6 y$ .

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

Paso 3.4.3.3

Factoriza $3 y$ de $3 y (x) + 3 y (- 2)$ .

$3 y (x - 2) = 5 x$

Paso 3.4.4

Divide cada término en $3 y (x - 2) = 5 x$ por $3 (x - 2)$ y simplifica.

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Paso 3.4.4.1

Divide cada término en $3 y (x - 2) = 5 x$ por $3 (x - 2)$ .

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 3.4.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.4.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.4.4.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 3.4.4.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 3.4.4.2.2

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 3.4.4.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 3.4.4.2.2.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

Paso 5.2.3

Combina $5$ y $\frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

Paso 5.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.4.1

Para escribir $- 2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.2

Combina $- 2$ y $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4

Reescribe $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ en forma factorizada.

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Paso 5.2.4.4.1

Factoriza $2$ de $6 x - 2 (3 x - 5)$ .

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Paso 5.2.4.4.1.1

Factoriza $2$ de $6 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.1.2

Factoriza $2$ de $- 2 (3 x - 5)$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.1.3

Factoriza $2$ de $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.4

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.5

Resta $3 x$ de $3 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.4.6

Suma $0$ y $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.4.5

Multiplica $2$ por $5$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.5

Multiplica $5$ por $6$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

Paso 5.2.6

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.1

Combina $3$ y $\frac{10}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

Paso 5.2.6.2

Multiplica $3$ por $10$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

Paso 5.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Paso 5.2.8

Cancela el factor común de $30$ .

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Paso 5.2.8.1

Factoriza $30$ de $30 x$ .

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Paso 5.2.8.2

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

Paso 5.2.8.3

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Paso 5.2.9

Cancela el factor común de $3 x - 5$ .

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Paso 5.2.9.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

Paso 5.2.9.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Paso 5.3.3

Combina $6$ y $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.4.1.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

Paso 5.3.4.1.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

Paso 5.3.4.2

Para escribir $- 5$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.3

Combina $- 5$ y $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5

Reescribe $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ en forma factorizada.

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Paso 5.3.4.5.1

Factoriza $5$ de $5 x - 5 (x - 2)$ .

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Paso 5.3.4.5.1.1

Factoriza $5$ de $5 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.1.2

Factoriza $5$ de $- 5 (x - 2)$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.1.3

Factoriza $5$ de $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.2

Aplica la propiedad distributiva.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.4

Resta $x$ de $x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.5.5

Suma $0$ y $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

Paso 5.3.4.6

Multiplica $5$ por $2$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Paso 5.3.5

Multiplica $6$ por $5$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Paso 5.3.6

Reduce la expresión $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 5.3.6.1

Factoriza $3$ de $30 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Paso 5.3.6.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

Paso 5.3.6.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

Paso 5.3.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Paso 5.3.8

Cancela el factor común de $10$ .

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Paso 5.3.8.1

Factoriza $10$ de $10 x$ .

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Paso 5.3.8.2

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

Paso 5.3.8.3

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.9

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 5.3.9.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

Paso 5.3.9.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$