Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ como una ecuación.

$y = \frac{6}{\sqrt{x}}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{6}{\sqrt{y}}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{6}{\sqrt{y}} = x$ .

$\frac{6}{\sqrt{y}} = x$

Paso 3.2

Multiplicación cruzada.

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Paso 3.2.1

Aplica la multiplicación cruzada; para ello, haz que el producto del numerador del lado derecho y el denominador del lado izquierdo sean iguales al producto del numerador del lado izquierdo y el denominador del lado derecho.

$x \cdot (\sqrt{y}) = 6$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.1

Multiplica $x$ por $\sqrt{y}$ .

$x \sqrt{y} = 6$

Paso 3.3

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${(x \sqrt{y})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 3.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica ${(x y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Aplica la regla del producto a $x y^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} {(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Multiplica los exponentes en ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.4.2.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$x^{2} y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{2} y^{1} = 6^{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Simplifica.

$x^{2} y = 6^{2}$

Paso 3.4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.1

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$x^{2} y = 36$

Paso 3.5

Divide cada término en $x^{2} y = 36$ por $x^{2}$ y simplifica.

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Paso 3.5.1

Divide cada término en $x^{2} y = 36$ por $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 3.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.5.2.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x^{2} y}{x^{2}} = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 3.5.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{{(\frac{6}{\sqrt{x}})}^{2}}$

Paso 5.2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.2.3.1

Aplica la regla del producto a $\frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{6^{2}}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Paso 5.2.3.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{\sqrt{x}}^{2}}}$

Paso 5.2.3.3

Reescribe ${\sqrt{x}}^{2}$ como $x$ .

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Paso 5.2.3.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Paso 5.2.3.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Paso 5.2.3.3.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 5.2.3.3.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.3.4.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x^{\frac{2}{2}}}}$

Paso 5.2.3.3.4.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Paso 5.2.3.3.5

Simplifica.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = \frac{36}{\frac{36}{x}}$

Paso 5.2.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Paso 5.2.5

Cancela el factor común de $36$ .

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Paso 5.2.5.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = 36 (\frac{x}{36})$

Paso 5.2.5.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{6}{\sqrt{x}}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{36}{x^{2}})$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.3

Elimina los paréntesis.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{36}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.4.1

Reescribe $36$ como $6^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{\frac{6^{2}}{x^{2}}}}$

Paso 5.3.4.2

Reescribe $\frac{6^{2}}{x^{2}}$ como ${(\frac{6}{x})}^{2}$ .

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\sqrt{{(\frac{6}{x})}^{2}}}$

Paso 5.3.4.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = \frac{6}{\frac{6}{x}}$

Paso 5.3.5

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 5.3.6

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 5.3.6.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = 6 (\frac{x}{6})$

Paso 5.3.6.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{36}{x^{2}}) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$ es la inversa de $f (x) = \frac{6}{\sqrt{x}}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{36}{x^{2}}$