Precálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{2}{x - 1}$

Paso 1

Escribe $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{2}{x - 1}$

Paso 2

Intercambia las variables.

$x = \frac{2}{y - 1}$

Paso 3

Resuelve $y$

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Paso 3.1

Reescribe la ecuación como $\frac{2}{y - 1} = x$ .

$\frac{2}{y - 1} = x$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$y - 1, 1$

Paso 3.2.2

Elimina los paréntesis.

$y - 1, 1$

Paso 3.2.3

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$y - 1$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $\frac{2}{y - 1} = x$ por $y - 1$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $\frac{2}{y - 1} = x$ por $y - 1$ .

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1)$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $y - 1$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1)$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$2 = x (y - 1)$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica mediante la multiplicación.

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Paso 3.3.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 = x y + x \cdot - 1$

Paso 3.3.3.1.2

Mueve $- 1$ a la izquierda de $x$ .

$2 = x y - 1 \cdot x$

Paso 3.3.3.2

Reescribe $- 1 x$ como $- x$ .

$2 = x y - x$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Reescribe la ecuación como $x y - x = 2$ .

$x y - x = 2$

Paso 3.4.2

Suma $x$ a ambos lados de la ecuación.

$x y = 2 + x$

Paso 3.4.3

Divide cada término en $x y = 2 + x$ por $x$ y simplifica.

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Paso 3.4.3.1

Divide cada término en $x y = 2 + x$ por $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.4.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.4.3.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{x y}{x} = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.4.3.2.1.2

Divide $y$ por $1$ .

$y = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.4.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.4.3.3.1.1

Cancela el factor común.

$y = \frac{2}{x} + \frac{x}{x}$

Paso 3.4.3.3.1.2

Reescribe la expresión.

$y = \frac{2}{x} + 1$

Paso 4

Reemplaza $y$ con $f^{- 1} (x)$ para ver la respuesta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$

Paso 5

Verifica si $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ .

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Paso 5.1

Para verificar la inversa, comprueba si $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ .

Paso 5.2

Evalúa $f^{- 1} (f (x))$ .

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Paso 5.2.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f^{- 1} (f (x))$

Paso 5.2.2

Evalúa $f^{- 1} (\frac{2}{x - 1})$ mediante la sustitución del valor de $f$ en $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = \frac{2}{\frac{2}{x - 1}} + 1$

Paso 5.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.3.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Paso 5.2.3.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.3.2.1

Cancela el factor común.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = 2 (\frac{x - 1}{2}) + 1$

Paso 5.2.3.2.2

Reescribe la expresión.

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x - 1 + 1$

Paso 5.2.4

Combina los términos opuestos en $x - 1 + 1$ .

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Paso 5.2.4.1

Suma $- 1$ y $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x + 0$

Paso 5.2.4.2

Suma $x$ y $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{x - 1}) = x$

Paso 5.3

Evalúa $f (f^{- 1} (x))$ .

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Paso 5.3.1

Establece la función de resultado compuesta.

$f (f^{- 1} (x))$

Paso 5.3.2

Evalúa $f (\frac{2}{x} + 1)$ mediante la sustitución del valor de $f^{- 1}$ en $f$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{(\frac{2}{x} + 1) - 1}$

Paso 5.3.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.3.1

Resta $1$ de $1$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{\frac{2}{x} + 0}$

Paso 5.3.3.2

Suma $\frac{2}{x}$ y $0$ .

$f (\frac{2}{x} + 1) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Paso 5.3.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f (\frac{2}{x} + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.3.5.1

Cancela el factor común.

$f (\frac{2}{x} + 1) = 2 (\frac{x}{2})$

Paso 5.3.5.2

Reescribe la expresión.

$f (\frac{2}{x} + 1) = x$

Paso 5.4

Como $f^{- 1} (f (x)) = x$ y $f (f^{- 1} (x)) = x$ , entonces $f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$ es la inversa de $f (x) = \frac{2}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{2}{x} + 1$