Precálculo Ejemplos

$\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}$

Paso 1

Establece el radicando en $\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x^{2} - 5 x \geq 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{2} - 5 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 2.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 2.4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5$

Paso 2.7

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

Paso 2.8

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 2.8.1

Prueba un valor en el intervalo $x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 2.8.1.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{2} - 5 \cdot - 2 \geq 0$

Paso 2.8.1.3

$14$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.2

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.2.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 2.8.2.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{2} - 5 \cdot 2 \geq 0$

Paso 2.8.2.3

$- 6$ del lado izquierdo es menor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

Falso

Paso 2.8.3

Prueba un valor en el intervalo $x > 5$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 2.8.3.1

Elije un valor en el intervalo $x > 5$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 8$

Paso 2.8.3.2

Reemplaza $x$ con $8$ en la desigualdad original.

${(8)}^{2} - 5 \cdot 8 \geq 0$

Paso 2.8.3.3

$24$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

Verdadero

Paso 2.8.4

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

$x < 0$ Verdadero

$0 < x < 5$ Falso

$x > 5$ Verdadero

Paso 2.9

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x \leq 0$ o $x \geq 5$

Paso 3

Establece el denominador en $\frac{1}{\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$\sqrt[4]{x^{2} - 5 x} = 0$

Paso 4

Resuelve $x$

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Paso 4.1

Para eliminar el radical en el lado izquierdo de la ecuación, eleva a la potencia $4$ ambos lados de la ecuación.

${\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}}^{4} = 0^{4}$

Paso 4.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 4.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[4]{x^{2} - 5 x}$ como ${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}}$ .

${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4} = 0^{4}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

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Paso 4.2.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 4.2.2.1.1.2

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 4.2.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

${(x^{2} - 5 x)}^{\frac{1}{4} \cdot 4} = 0^{4}$

Paso 4.2.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

${(x^{2} - 5 x)}^{1} = 0^{4}$

Paso 4.2.2.1.2

Simplifica.

$x^{2} - 5 x = 0^{4}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$x^{2} - 5 x = 0$

Paso 4.3

Resuelve $x$

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Paso 4.3.1

Factoriza $x$ de $x^{2} - 5 x$ .

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Paso 4.3.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 5 x = 0$

Paso 4.3.1.2

Factoriza $x$ de $- 5 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

Paso 4.3.1.3

Factoriza $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 5$ .

$x (x - 5) = 0$

Paso 4.3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 4.3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 4.3.4

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.3.4.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 4.3.4.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 4.3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 0, 5$

Paso 5

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (5, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x < 0, x > 5}$

Paso 6