Precálculo Ejemplos

$F (x) = 4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7$

Paso 1

Establece $4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7$ igual a $0$ .

$4 x^{4} + 5 x^{3} + 29 x^{2} + 35 x + 7 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$5 x^{3} + 35 x + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $5 x$ de $5 x^{3} + 35 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $5 x$ de $5 x^{3}$ .

$5 x (x^{2}) + 35 x + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $5 x$ de $35 x$ .

$5 x (x^{2}) + 5 x (7) + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $5 x$ de $5 x (x^{2}) + 5 x (7)$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 x^{4} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 {(x^{2})}^{2} + 29 x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 29 u + 7 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ y cuya suma es $b = 29$ .

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Paso 2.1.5.1.1

Factoriza $29$ de $29 u$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 29 (u) + 7 = 0$

Paso 2.1.5.1.2

Reescribe $29$ como $1$ más $28$

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + (1 + 28) u + 7 = 0$

Paso 2.1.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + 1 u + 28 u + 7 = 0$

Paso 2.1.5.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + u + 28 u + 7 = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$5 x (x^{2} + 7) + 4 u^{2} + u + 28 u + 7 = 0$

Paso 2.1.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$5 x (x^{2} + 7) + u (4 u + 1) + 7 (4 u + 1) = 0$

Paso 2.1.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u + 1$ .

$5 x (x^{2} + 7) + (4 u + 1) (u + 7) = 0$

Paso 2.1.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$5 x (x^{2} + 7) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $x^{2} + 7$ de $5 x (x^{2} + 7) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7)$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $x^{2} + 7$ de $5 x (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (5 x) + (4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7) = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $x^{2} + 7$ de $(4 x^{2} + 1) (x^{2} + 7)$ .

$(x^{2} + 7) (5 x) + (x^{2} + 7) (4 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $x^{2} + 7$ de $(x^{2} + 7) (5 x) + (x^{2} + 7) (4 x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 7) (5 x + 4 x^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 7) (5 u + 4 u^{2} + 1) = 0$

Paso 2.1.9

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 5 u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.1.9.2.1

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 5 (u) + 1) = 0$

Paso 2.1.9.2.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + (1 + 4) u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + 1 u + 4 u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 7) (4 u^{2} + u + 4 u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 7) ((4 u^{2} + u) + 4 u + 1) = 0$

Paso 2.1.9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 7) (u (4 u + 1) + 1 (4 u + 1)) = 0$

Paso 2.1.9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u + 1$ .

$(x^{2} + 7) ((4 u + 1) (u + 1)) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza.

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Paso 2.1.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 7) ((4 x + 1) (x + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 7) (4 x + 1) (x + 1) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

$4 x + 1 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} + 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} + 7$ igual a $0$ .

$x^{2} + 7 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} + 7 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $7$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 7$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 7}$

Paso 2.3.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 7}$ .

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Paso 2.3.2.3.1

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (7)}$

Paso 2.3.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (7)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{7}$

Paso 2.3.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{7}$

Paso 2.3.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{7}$

Paso 2.3.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{7}$

Paso 2.3.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}$

Paso 2.4

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $4 x + 1$ igual a $0$ .

$4 x + 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $4 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$4 x = - 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = - 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{4}$

Paso 2.4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Establece $x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 1$ igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 7) (4 x + 1) (x + 1) = 0$ verdadera.

$x = i \sqrt{7}, - i \sqrt{7}, - \frac{1}{4}, - 1$

Paso 3