Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

Paso 1

Establece $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ igual a $0$ .

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.2

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $16$ como $4^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x^{2}$ y $b = 4$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.5.2

Factoriza.

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Paso 2.1.5.2.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.5.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ .

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Paso 2.1.6.1

Factoriza $2 x$ de $- 2 x^{3}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

Paso 2.1.6.2

Factoriza $2 x$ de $- 6 x^{2}$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

Paso 2.1.6.3

Factoriza $2 x$ de $- 4 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Paso 2.1.6.4

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

Paso 2.1.6.5

Factoriza $2 x$ de $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza.

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Paso 2.1.7.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.7.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ y cuya suma es $b = - 3$ .

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Paso 2.1.7.1.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 x$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 2.1.7.1.1.2

Reescribe $- 3$ como $- 1$ más $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

Paso 2.1.7.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

Paso 2.1.7.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.7.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

Paso 2.1.7.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.7.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- x - 1$ .

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

Paso 2.1.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.1.8

Factoriza $x + 2$ de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

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Paso 2.1.8.1

Factoriza $x + 2$ de $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

Paso 2.1.8.2

Factoriza $x + 2$ de $2 x (- x - 1) (x + 2)$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.8.3

Factoriza $x + 2$ de $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ .

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.9

Expande $(x^{2} + 4) (x - 2)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.9.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.10.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.10.1.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 2.1.10.1.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.1.2

Suma $2$ y $1$ .

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.10.3

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

Paso 2.1.11

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Paso 2.1.12

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

Paso 2.1.13

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

Paso 2.1.14

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.14.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.14.1.1

Mueve $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

Paso 2.1.14.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

Paso 2.1.14.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

Paso 2.1.15

Resta $2 x^{2}$ de $- 2 x^{2}$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

Paso 2.1.16

Resta $2 x$ de $4 x$ .

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

Paso 2.1.17

Factoriza.

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Paso 2.1.17.1

Reescribe $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ en forma factorizada.

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Paso 2.1.17.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.17.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

Paso 2.1.17.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

Paso 2.1.17.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

Paso 2.1.17.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

Paso 2.4

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.5

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} + 2$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 2.5.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 3