Precálculo Ejemplos

$6 x^{4} - 11 x^{3} - 51 x^{2} + 99 x - 27$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 11 x^{3} + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 2

Factoriza $- 11 x$ de $- 11 x^{3} + 99 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 11 x$ de $- 11 x^{3}$ .

$- 11 x (x^{2}) + 99 x + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 2.2

Factoriza $- 11 x$ de $99 x$ .

$- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 2.3

Factoriza $- 11 x$ de $- 11 x (x^{2}) - 11 x (- 9)$ .

$- 11 x (x^{2} - 9) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 3

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 11 x (x^{2} - 3^{2}) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 11 x ((x + 3) (x - 3)) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$

Paso 5

Factoriza $3$ de $6 x^{4} - 51 x^{2} - 27$ .

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $6 x^{4}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) - 51 x^{2} - 27$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $- 51 x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) - 27$

Paso 5.3

Factoriza $3$ de $- 27$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Paso 5.4

Factoriza $3$ de $3 (2 x^{4}) + 3 (- 17 x^{2})$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$

Paso 5.5

Factoriza $3$ de $3 (2 x^{4} - 17 x^{2}) + 3 (- 9)$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{4} - 17 x^{2} - 9)$

Paso 6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 {(x^{2})}^{2} - 17 x^{2} - 9)$

Paso 7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 u - 9)$

Paso 8

Factoriza por agrupación.

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Paso 8.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 9 = - 18$ y cuya suma es $b = - 17$ .

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Paso 8.1.1

Factoriza $- 17$ de $- 17 u$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} - 17 (u) - 9)$

Paso 8.1.2

Reescribe $- 17$ como $1$ más $- 18$

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + (1 - 18) u - 9)$

Paso 8.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + 1 u - 18 u - 9)$

Paso 8.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 u^{2} + u - 18 u - 9)$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 8.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u^{2} + u) - 18 u - 9)$

Paso 8.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (u (2 u + 1) - 9 (2 u + 1))$

Paso 8.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 u + 1) (u - 9))$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 9))$

Paso 10

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x^{2} - 3^{2}))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Factoriza.

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Paso 11.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) ((x + 3) (x - 3)))$

Paso 11.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 ((2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Paso 12

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 11 x (x + 3) (x - 3) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

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Paso 12.1

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $- 11 x (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + 3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$

Paso 12.2

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $3 (2 x^{2} + 1) (x + 3) (x - 3)$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$

Paso 12.3

Factoriza $(x + 3) (x - 3)$ de $(x + 3) (x - 3) (- 11 x) + (x + 3) (x - 3) (3 (2 x^{2} + 1))$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2} + 1))$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 3 (2 x^{2}) + 3 \cdot 1)$

Paso 14

Multiplica $2$ por $3$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Paso 15

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x + 3) (x - 3) (- 11 x + 6 x^{2} + 3)$

Paso 16

Reordena los términos.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 x + 3)$

Paso 17

Factoriza.

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Paso 17.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 17.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 6 \cdot 3 = 18$ y cuya suma es $b = - 11$ .

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Paso 17.1.1.1

Factoriza $- 11$ de $- 11 x$ .

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 11 (x) + 3)$

Paso 17.1.1.2

Reescribe $- 11$ como $- 2$ más $- 9$

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} + (- 2 - 9) x + 3)$

Paso 17.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 3) (x - 3) (6 x^{2} - 2 x - 9 x + 3)$

Paso 17.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 17.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 3) (x - 3) ((6 x^{2} - 2 x) - 9 x + 3)$

Paso 17.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 3) (x - 3) (2 x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Paso 17.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(x + 3) (x - 3) ((3 x - 1) (2 x - 3))$

Paso 17.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 3) (x - 3) (3 x - 1) (2 x - 3)$