Precálculo Ejemplos

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

Paso 1

Reagrupa los términos.

$- 10 x^{3} + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 2

Factoriza $- 10 x$ de $- 10 x^{3} + 40 x$ .

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Paso 2.1

Factoriza $- 10 x$ de $- 10 x^{3}$ .

$- 10 x (x^{2}) + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 2.2

Factoriza $- 10 x$ de $40 x$ .

$- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 2.3

Factoriza $- 10 x$ de $- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4)$ .

$- 10 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 10 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 4

Factoriza.

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Paso 4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 10 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

Paso 5

Factoriza $3$ de $3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$ .

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Paso 5.1

Factoriza $3$ de $3 x^{4}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) - 9 x^{2} - 12$

Paso 5.2

Factoriza $3$ de $- 9 x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) + 3 (- 3 x^{2}) - 12$

Paso 5.3

Factoriza $3$ de $- 12$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Paso 5.4

Factoriza $3$ de $3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2})$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

Paso 5.5

Factoriza $3$ de $3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$

Paso 6

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4)$

Paso 7

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (u^{2} - 3 u - 4)$

Paso 8

Factoriza $u^{2} - 3 u - 4$ con el método AC.

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Paso 8.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 4$ y cuya suma es $- 3$ .

$- 4, 1$

Paso 8.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((u - 4) (u + 1))$

Paso 9

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1))$

Paso 10

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1))$

Paso 11

Factoriza.

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Paso 11.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1))$

Paso 11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Paso 12

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 12.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $- 10 x (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

Paso 12.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$

Paso 12.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + (3) (x^{2} + 1))$

Paso 13

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1)$

Paso 14

Multiplica $3$ por $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3)$

Paso 15

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 x + 3)$

Paso 16

Factoriza.

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Paso 16.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 16.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 16.1.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 (x) + 3)$

Paso 16.1.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 1$ más $- 9$

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3)$

Paso 16.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3)$

Paso 16.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 16.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) (x - 2) ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3)$

Paso 16.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

Paso 16.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $3 x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((3 x - 1) (x - 3))$

Paso 16.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (3 x - 1) (x - 3)$