Precálculo Ejemplos

$4 x^{4} - 5 x^{2} + 1$

Paso 1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$4 {(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 1$

Paso 2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$4 u^{2} - 5 u + 1$

Paso 3

Factoriza por agrupación.

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Paso 3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 u$ .

$4 u^{2} - 5 (u) + 1$

Paso 3.1.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$4 u^{2} + (- 1 - 4) u + 1$

Paso 3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$4 u^{2} - 1 u - 4 u + 1$

Paso 3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(4 u^{2} - 1 u) - 4 u + 1$

Paso 3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$u (4 u - 1) - (4 u - 1)$

Paso 3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u - 1)$

Paso 4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(4 x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Paso 5

Reescribe $4 x^{2}$ como ${(2 x)}^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1) (x^{2} - 1)$

Paso 6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$({(2 x)}^{2} - 1^{2}) (x^{2} - 1)$

Paso 7

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 x$ y $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1)$

Paso 8

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x^{2} - 1^{2})$

Paso 9

Factoriza.

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Paso 9.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$(2 x + 1) (2 x - 1) ((x + 1) (x - 1))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) (2 x - 1) (x + 1) (x - 1)$