Precálculo Ejemplos

$x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15, \pm 25, \pm 75$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{3} - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 - 3 {(3)}^{2} - 25 \cdot 3 + 75$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$27 - 3 \cdot 9 - 25 \cdot 3 + 75$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 3$ por $9$ .

$27 - 27 - 25 \cdot 3 + 75$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 25$ por $3$ .

$27 - 27 - 75 + 75$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $27$ de $27$ .

$0 - 75 + 75$

Paso 4.2.2

Resta $75$ de $0$ .

$- 75 + 75$

Paso 4.2.3

Suma $- 75$ y $75$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 3 x^{2} - 25 x + 75}{x - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 3)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 25)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$
	$1$	$0$	$- 25$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 25)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(- 75)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(75)$ .

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$- 3$	$- 25$	$75$
		$3$	$0$	$- 75$
	$1$	$0$	$- 25$	$0$

Paso 6.9

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{2} + 0 x - 25$

Paso 6.10

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{2} - 25$

Paso 7

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 3) x^{2} - 5^{2}$

Paso 8

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x - 3) (x + 5) (x - 5)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 9.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{3} - 3 x^{2}) - 25 x + 75 = 0$

Paso 9.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x^{2} (x - 3) - 25 (x - 3) = 0$

Paso 9.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 3$ .

$(x - 3) (x^{2} - 25) = 0$

Paso 9.3

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$(x - 3) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Paso 9.4

Factoriza.

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Paso 9.4.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 5$ .

$(x - 3) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Paso 9.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Paso 11

Establece $x - 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x - 3$ igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Paso 11.2

Suma $3$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 3$

Paso 12

Establece $x + 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 12.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 13

Establece $x - 5$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x - 5$ igual a $0$ .

$x - 5 = 0$

Paso 13.2

Suma $5$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 5$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x - 3) (x + 5) (x - 5) = 0$ verdadera.

$x = 3, - 5, 5$

Paso 15