Precálculo Ejemplos

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $4$ .

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Paso 4.1.2

Eleva $- 3$ a la potencia de $3$ .

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 27$ .

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

Paso 4.1.4

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 11$ por $9$ .

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

Paso 4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $81$ y $27$ .

$108 - 99 + 3 - 12$

Paso 4.2.2

Resta $99$ de $108$ .

$9 + 3 - 12$

Paso 4.2.3

Suma $9$ y $3$ .

$12 - 12$

Paso 4.2.4

Resta $12$ de $12$ .

$0$

Paso 5

Como $- 3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 11)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- 3)$ y coloca el resultado de $(12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} - x$ .

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Paso 9.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $- x$ de $- x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (1)$ .

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

Paso 9.5

Factoriza $u^{2} - 11 u - 12$ con el método AC.

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Paso 9.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 11$ .

$- 12, 1$

Paso 9.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

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Paso 9.7.1

Factoriza $x^{2} + 1$ de $- x (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ .

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

Paso 9.9

Factoriza $- u + u^{2} - 12$ con el método AC.

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Paso 9.9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 9.9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

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Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece $x^{2} + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 1$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Paso 11.2.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i, - i$

Paso 12

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 12.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 13

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 13.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 13.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = i, - i, 4, - 3$

Paso 15