Precálculo Ejemplos

$x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(1)}^{5} - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 \cdot 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - {(1)}^{3} + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 - 1 \cdot 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.5

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$1 - 1 - 1 + {(1)}^{2} - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.6

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 \cdot 1 + 12$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 12$ por $1$ .

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

$1 - 1 - 1 + 1 - 12 + 12$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de $1$ .

$0 - 1 + 1 - 12 + 12$

Paso 4.2.2

Resta $1$ de $0$ .

$- 1 + 1 - 12 + 12$

Paso 4.2.3

Suma $- 1$ y $1$ .

$0 - 12 + 12$

Paso 4.2.4

Resta $12$ de $0$ .

$- 12 + 12$

Paso 4.2.5

Suma $- 12$ y $12$ .

$0$

$0$

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{5} - x^{4} - x^{3} + x^{2} - 12 x + 12}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$
	$1$	$0$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(1)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(0)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(0)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Paso 6.11

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 12)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(- 12)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(12)$ .

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$

Paso 6.12

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$1$	$- 1$	$- 1$	$1$	$- 12$	$12$
		$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$
	$1$	$0$	$- 1$	$0$	$- 12$	$0$

Paso 6.13

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{4} + 0 x^{3} - 1 x^{2} + 0 x - 12$

Paso 6.14

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{4} - x^{2} - 12$

$x^{4} - x^{2} - 12$

Paso 7

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 1) {(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12$

Paso 8

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$(x - 1) u^{2} - u - 12$

Paso 9

Factoriza $u^{2} - u - 12$ con el método AC.

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Paso 9.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 9.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(x - 1) + (u - 4) (u + 3)$

$(x - 1) (u - 4) (u + 3)$

Paso 10

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 4) (x^{2} + 3)$

Paso 11

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$(x - 1) (x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)$

Paso 12

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$(x - 1) (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$

Paso 13

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 13.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.2

Factoriza $x$ de $x^{5} - x^{3} - 12 x$ .

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Paso 13.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 12 x - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.2.3

Factoriza $x$ de $- 12 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12 - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 12$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x (x^{4} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 12) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.5

Factoriza $u^{2} - u - 12$ con el método AC.

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Paso 13.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 12$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 4, 3$

Paso 13.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x ((u - 4) (u + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.8

Factoriza.

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Paso 13.8.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.8.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - x^{4} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.9

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - {(x^{2})}^{2} + x^{2} + 12 = 0$

Paso 13.10

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + u + 12 = 0$

Paso 13.11

Factoriza por agrupación.

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Paso 13.11.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 1 \cdot 12 = - 12$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 13.11.1.1

Multiplica por $1$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + 1 u + 12 = 0$

Paso 13.11.1.2

Reescribe $1$ como $- 3$ más $4$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} + (- 3 + 4) u + 12 = 0$

Paso 13.11.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Paso 13.11.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.11.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) - u^{2} - 3 u + 4 u + 12 = 0$

Paso 13.11.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + u (- u - 3) - 4 (- u - 3) = 0$

Paso 13.11.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- u - 3$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- u - 3) (u - 4) = 0$

Paso 13.12

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 4) = 0$

Paso 13.13

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x^{2} - 2^{2}) = 0$

Paso 13.14

Factoriza.

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Paso 13.14.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) ((x + 2) (x - 2)) = 0$

Paso 13.14.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 13.15

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

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Paso 13.15.1

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2) = 0$

Paso 13.15.2

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(- x^{2} - 3) (x + 2) (x - 2)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.15.3

Factoriza $(x + 2) (x - 2)$ de $(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3)) + (x + 2) (x - 2) (- x^{2} - 3)$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) ((x) (x^{2} + 3) - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.16

Aplica la propiedad distributiva.

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.17

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.17.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 13.17.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x + 2) (x - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.17.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.17.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + x \cdot 3 - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.18

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} + 3 x - x^{2} - 3) = 0$

Paso 13.19

Reordena los términos.

$(x + 2) (x - 2) (x^{3} - x^{2} + 3 x - 3) = 0$

Paso 13.20

Factoriza.

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Paso 13.20.1

Reescribe $x^{3} - x^{2} + 3 x - 3$ en forma factorizada.

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Paso 13.20.1.1

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 13.20.1.1.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + 2) (x - 2) ((x^{3} - x^{2}) + 3 x - 3) = 0$

Paso 13.20.1.1.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x^{2} (x - 1) + 3 (x - 1)) = 0$

Paso 13.20.1.2

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 1$ .

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

$(x + 2) (x - 2) ((x - 1) (x^{2} + 3)) = 0$

Paso 13.20.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

$(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$

Paso 14

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 15

Establece $x + 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 15.1

Establece $x + 2$ igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Paso 15.2

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 2$

$x = - 2$

Paso 16

Establece $x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 16.1

Establece $x - 2$ igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Paso 16.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 2$

$x = 2$

Paso 17

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 17.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 17.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

$x = 1$

Paso 18

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 18.1

Establece $x^{2} + 3$ igual a $0$ .

$x^{2} + 3 = 0$

Paso 18.2

Resuelve $x^{2} + 3 = 0$ en $x$ .

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Paso 18.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 3$

Paso 18.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 3}$

Paso 18.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Paso 18.2.3.1

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Paso 18.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Paso 18.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{3}$

$x = \pm i \sqrt{3}$

Paso 18.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 18.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{3}$

Paso 18.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{3}$

Paso 18.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

$x = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 19

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x + 2) (x - 2) (x - 1) (x^{2} + 3) = 0$ verdadera.

$x = - 2, 2, 1, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Paso 20

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$