Precálculo Ejemplos

$x^{4} + 40 x^{2} - 441$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

$q = \pm 1$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 3, \pm 7, \pm 9, \pm 21, \pm 49, \pm 63, \pm 147, \pm 441$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

${(3)}^{4} + 40 {(3)}^{2} - 441$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 3$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $4$ .

$81 + 40 {(3)}^{2} - 441$

Paso 4.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$81 + 40 \cdot 9 - 441$

Paso 4.1.3

Multiplica $40$ por $9$ .

$81 + 360 - 441$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

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Paso 4.2.1

Suma $81$ y $360$ .

$441 - 441$

Paso 4.2.2

Resta $441$ de $441$ .

$0$

Paso 5

Como $3$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 3$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{4} + 40 x^{2} - 441}{x - 3}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(1)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$

	$1$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$
	$1$	$3$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(3)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(9)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(40)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$
	$1$	$3$	$49$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(49)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(147)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(0)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(147)$ por el divisor $(3)$ y coloca el resultado de $(441)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 441)$ .

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$3$	$1$	$0$	$40$	$0$	$- 441$
		$3$	$9$	$147$	$441$
	$1$	$3$	$49$	$147$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$1 x^{3} + 3 x^{2} + (49) x + 147$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$x^{3} + 3 x^{2} + 49 x + 147$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 3) (x^{3} + 3 x^{2}) + 49 x + 147$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 3) + x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

$(x - 3) x^{2} (x + 3) + 49 (x + 3)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x + 3$ .

$(x - 3) (x + 3) (x^{2} + 49)$

Paso 9

Sustituye $u = x^{2}$ en la ecuación. Esto hará que la fórmula cuadrática sea fácil de usar.

$u^{2} + 40 u - 441 = 0$

$u = x^{2}$

Paso 10

Factoriza $u^{2} + 40 u - 441$ con el método AC.

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Paso 10.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 441$ y cuya suma es $40$ .

$- 9, 49$

Paso 10.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(u - 9) (u + 49) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

$u + 49 = 0$

Paso 12

Establece $u - 9$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 12.1

Establece $u - 9$ igual a $0$ .

$u - 9 = 0$

Paso 12.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$u = 9$

Paso 13

Establece $u + 49$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 13.1

Establece $u + 49$ igual a $0$ .

$u + 49 = 0$

Paso 13.2

Resta $49$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 49$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(u - 9) (u + 49) = 0$ verdadera.

$u = 9, - 49$

Paso 15

Sustituye el valor real de $u = x^{2}$ de nuevo en la ecuación resuelta.

$x^{2} = 9$

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Paso 16

Resuelve la primera ecuación para $x$ .

$x^{2} = 9$

Paso 17

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 17.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Paso 17.2

Simplifica $\pm \sqrt{9}$ .

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Paso 17.2.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Paso 17.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 3$

Paso 17.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 17.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 3$

Paso 17.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 3$

Paso 17.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 3, - 3$

Paso 18

Resuelve la segunda ecuación para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 49$

Paso 19

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 19.1

Elimina los paréntesis.

$x^{2} = - 49$

Paso 19.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 49}$

Paso 19.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 49}$ .

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Paso 19.3.1

Reescribe $- 49$ como $- 1 (49)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (49)}$

Paso 19.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (49)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{49}$

Paso 19.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{49}$

Paso 19.3.4

Reescribe $49$ como $7^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{7^{2}}$

Paso 19.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 7$

Paso 19.3.6

Mueve $7$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 7 i$

Paso 19.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 19.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 7 i$

Paso 19.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 7 i$

Paso 19.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 7 i, - 7 i$

Paso 20

La solución a $x^{4} + 40 x^{2} - 441 = 0$ es $x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$ .

$x = 3, - 3, 7 i, - 7 i$

Paso 21