Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(1)}^{4} - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = 1$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \cdot 1 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$2 - {(1)}^{3} + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - 1 \cdot 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 {(1)}^{2} - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.5

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 - 1 + 49 \cdot 1 - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.6

Multiplica $49$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 \cdot 1 - 25$

Paso 4.1.7

Multiplica $- 25$ por $1$ .

$2 - 1 + 49 - 25 - 25$

Paso 4.2

Simplifica mediante suma y resta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Resta $1$ de $2$ .

$1 + 49 - 25 - 25$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $49$ .

$50 - 25 - 25$

Paso 4.2.3

Resta $25$ de $50$ .

$25 - 25$

Paso 4.2.4

Resta $25$ de $25$ .

$0$

Paso 5

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - x^{3} + 49 x^{2} - 25 x - 25}{x - 1}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 1)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$
	$2$	$1$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(1)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(49)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$
	$2$	$1$	$50$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(50)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(50)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(25)$ por el divisor $(1)$ y coloca el resultado de $(25)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 25)$ .

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$1$	$2$	$- 1$	$49$	$- 25$	$- 25$
		$2$	$1$	$50$	$25$
	$2$	$1$	$50$	$25$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + 1 x^{2} + (50) x + 25$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} + x^{2} + 50 x + 25$

Paso 7

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x - 1) (2 x^{3} + x^{2}) + 50 x + 25$

Paso 7.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x - 1) + x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

$(x - 1) x^{2} (2 x + 1) + 25 (2 x + 1)$

Paso 8

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(x - 1) (2 x + 1) (x^{2} + 25)$

Paso 9

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Reagrupa los términos.

$- x^{3} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Paso 9.2

Factoriza $- x$ de $- x^{3} - 25 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.1

Factoriza $- x$ de $- x^{3}$ .

$- x \cdot x^{2} - 25 x + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Paso 9.2.2

Factoriza $- x$ de $- 25 x$ .

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 25 + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Paso 9.2.3

Factoriza $- x$ de $- x (x^{2}) - x (25)$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 x^{4} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Paso 9.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 {(x^{2})}^{2} + 49 x^{2} - 25 = 0$

Paso 9.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 u - 25 = 0$

Paso 9.5

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 25 = - 50$ y cuya suma es $b = 49$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.1.1

Factoriza $49$ de $49 u$ .

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + 49 (u) - 25 = 0$

Paso 9.5.1.2

Reescribe $49$ como $- 1$ más $50$

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} + (- 1 + 50) u - 25 = 0$

Paso 9.5.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Paso 9.5.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.5.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$- x (x^{2} + 25) + 2 u^{2} - 1 u + 50 u - 25 = 0$

Paso 9.5.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$- x (x^{2} + 25) + u (2 u - 1) + 25 (2 u - 1) = 0$

Paso 9.5.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 u - 1) (u + 25) = 0$

Paso 9.6

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Paso 9.7

Factoriza $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.7.1

Factoriza $x^{2} + 25$ de $- x (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25) = 0$

Paso 9.7.2

Factoriza $x^{2} + 25$ de $(2 x^{2} - 1) (x^{2} + 25)$ .

$(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 9.7.3

Factoriza $x^{2} + 25$ de $(x^{2} + 25) (- x) + (x^{2} + 25) (2 x^{2} - 1)$ .

$(x^{2} + 25) (- x + 2 x^{2} - 1) = 0$

Paso 9.8

Sea $u = x$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x$ .

$(x^{2} + 25) (- u + 2 u^{2} - 1) = 0$

Paso 9.9

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.9.1

Reordena los términos.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Paso 9.9.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = - 1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.9.2.1

Factoriza $- 1$ de $- u$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} - (u) - 1) = 0$

Paso 9.9.2.2

Reescribe $- 1$ como $1$ más $- 2$

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Paso 9.9.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Paso 9.9.2.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$(x^{2} + 25) (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Paso 9.9.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.9.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} + 25) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1) = 0$

Paso 9.9.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} + 25) (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Paso 9.9.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u + 1$ .

$(x^{2} + 25) ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Paso 9.10

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.10.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x$ .

$(x^{2} + 25) ((2 x + 1) (x - 1)) = 0$

Paso 9.10.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$

Paso 10

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Paso 11

Establece $x^{2} + 25$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.1

Establece $x^{2} + 25$ igual a $0$ .

$x^{2} + 25 = 0$

Paso 11.2

Resuelve $x^{2} + 25 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.1

Resta $25$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 25$

Paso 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 25}$

Paso 11.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 25}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.3.1

Reescribe $- 25$ como $- 1 (25)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (25)}$

Paso 11.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (25)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{25}$

Paso 11.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{25}$

Paso 11.2.3.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm i \cdot \sqrt{5^{2}}$

Paso 11.2.3.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm i \cdot 5$

Paso 11.2.3.6

Mueve $5$ a la izquierda de $i$ .

$x = \pm 5 i$

Paso 11.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 11.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 5 i$

Paso 11.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 5 i$

Paso 11.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 5 i, - 5 i$

Paso 12

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 12.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 12.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 13

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 13.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 14

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} + 25) (2 x + 1) (x - 1) = 0$ verdadera.

$x = 5 i, - 5 i, - \frac{1}{2}, 1$

Paso 15