Precálculo Ejemplos

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x > 0$

Paso 1

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{3} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1

Factoriza $x$ de $x^{3} + 2 x^{2} - 3 x$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{2} + 2 x^{2} - 3 x = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) - 3 x = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x^{2} + x (2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{2} + x (2 x)$ .

$x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $x$ de $x (x^{2} + 2 x) + x \cdot - 3$ .

$x (x^{2} + 2 x - 3) = 0$

Paso 2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.1

Factoriza $x^{2} + 2 x - 3$ con el método AC.

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Paso 2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 3$ y cuya suma es $2$ .

$- 1, 3$

Paso 2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((x - 1) (x + 3)) = 0$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x - 1) (x + 3) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Paso 4

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 6

Establece $x + 3$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 3$ igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Paso 6.2

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 3$

Paso 7

La solución final comprende todos los valores que hacen $x (x - 1) (x + 3) = 0$ verdadera.

$x = 0, 1, - 3$

Paso 8

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$0 < x < 1$

$x > 1$

Paso 9

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 9.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 3$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 3$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 6$

Paso 9.1.2

Reemplaza $x$ con $- 6$ en la desigualdad original.

${(- 6)}^{3} + 2 {(- 6)}^{2} - 3 \cdot - 6 > 0$

Paso 9.1.3

$- 126$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.2

Prueba un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 3 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 9.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{3} + 2 {(- 2)}^{2} - 3 \cdot - 2 > 0$

Paso 9.2.3

$6$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 0.5$

Paso 9.3.2

Reemplaza $x$ con $0.5$ en la desigualdad original.

${(0.5)}^{3} + 2 {(0.5)}^{2} - 3 \cdot 0.5 > 0$

Paso 9.3.3

$- 0.875$ del lado izquierdo no es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 9.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 9.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 4$

Paso 9.4.2

Reemplaza $x$ con $4$ en la desigualdad original.

${(4)}^{3} + 2 {(4)}^{2} - 3 \cdot 4 > 0$

Paso 9.4.3

$84$ del lado izquierdo es mayor que $0$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 9.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

$x < - 3$ Falso

$- 3 < x < 0$ Verdadero

$0 < x < 1$ Falso

$x > 1$ Verdadero

Paso 10

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$- 3 < x < 0$ o $x > 1$

Paso 11

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- 3, 0) \cup (1, \infty)$

Paso 12