Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{x + 1} > 6 x$

Paso 1

Resta $6 x$ de ambos lados de la desigualdad.

$\frac{x}{x + 1} - 6 x > 0$

Paso 2

Simplifica $\frac{x}{x + 1} - 6 x$ .

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Paso 2.1

Para escribir $- 6 x$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} - 6 x \cdot \frac{x + 1}{x + 1} > 0$

Paso 2.2

Combina $- 6 x$ y $\frac{x + 1}{x + 1}$ .

$\frac{x}{x + 1} + \frac{- 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Factoriza $x$ de $x - 6 x (x + 1)$ .

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Paso 2.4.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{x^{1} - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.1.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{x \cdot 1 - 6 x (x + 1)}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.1.3

Factoriza $x$ de $- 6 x (x + 1)$ .

$\frac{x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.1.4

Factoriza $x$ de $x \cdot 1 + x (- 6 (x + 1))$ .

$\frac{x (1 - 6 (x + 1))}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x (1 - 6 x - 6 \cdot 1)}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$\frac{x (1 - 6 x - 6)}{x + 1} > 0$

Paso 2.4.4

Resta $6$ de $1$ .

$\frac{x (- 6 x - 5)}{x + 1} > 0$

Paso 2.5

Factoriza $- 1$ de $- 6 x$ .

$\frac{x (- (6 x) - 5)}{x + 1} > 0$

Paso 2.6

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x) - 1 (5))}{x + 1} > 0$

Paso 2.7

Factoriza $- 1$ de $- (6 x) - 1 (5)$ .

$\frac{x (- (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Paso 2.8

Reescribe $- (6 x + 5)$ como $- 1 (6 x + 5)$ .

$\frac{x (- 1 (6 x + 5))}{x + 1} > 0$

Paso 2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1} > 0$

Paso 3

Obtén todos los valores donde la expresión cambia de negativa a positiva mediante la definición de cada factor igual a $0$ y la resolución.

$- x = 0$

$6 x + 5 = 0$

$x + 1 = 0$

Paso 4

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.1

Divide cada término en $- x = 0$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{- 1}$

Paso 4.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x = 0$

Paso 5

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x = - 5$

Paso 6

Divide cada término en $6 x = - 5$ por $6$ y simplifica.

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Paso 6.1

Divide cada término en $6 x = - 5$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Paso 6.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 6.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 6.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 5}{6}$

Paso 6.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{6}$

Paso 6.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{5}{6}$

Paso 7

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 8

Resuelve cada factor para obtener los valores donde la expresión de valor absoluto va de positiva a negativa.

$x = 0$

$x = - \frac{5}{6}$

$x = - 1$

Paso 9

Consolida las soluciones.

$x = 0, - \frac{5}{6}, - 1$

Paso 10

Obtén el dominio de $- \frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ .

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Paso 10.1

Establece el denominador en $\frac{x (6 x + 5)}{x + 1}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 1$

Paso 10.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Paso 11

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 1$

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$

$- \frac{5}{6} < x < 0$

$x > 0$

Paso 12

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 12.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 1$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 1$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 4$

Paso 12.1.2

Reemplaza $x$ con $- 4$ en la desigualdad original.

$\frac{- 4}{(- 4) + 1} > 6 (- 4)$

Paso 12.1.3

$1.\overline{3}$ del lado izquierdo es mayor que $- 24$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.2

Prueba un valor en el intervalo $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 1 < x < - \frac{5}{6}$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.92$

Paso 12.2.2

Reemplaza $x$ con $- 0.92$ en la desigualdad original.

$\frac{- 0.92}{(- 0.92) + 1} > 6 (- 0.92)$

Paso 12.2.3

$- 11.5$ del lado izquierdo no es mayor que $- 5.52$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.3

Prueba un valor en el intervalo $- \frac{5}{6} < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.3.1

Elije un valor en el intervalo $- \frac{5}{6} < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 0.42$

Paso 12.3.2

Reemplaza $x$ con $- 0.42$ en la desigualdad original.

$\frac{- 0.42}{(- 0.42) + 1} > 6 (- 0.42)$

Paso 12.3.3

$- 0.72413793$ del lado izquierdo es mayor que $- 2.52$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 12.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 12.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 12.4.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

$\frac{2}{(2) + 1} > 6 (2)$

Paso 12.4.3

$0.\overline{6}$ del lado izquierdo no es mayor que $12$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 12.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falso

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

$x < - 1$ Verdadero

$- 1 < x < - \frac{5}{6}$ Falso

$- \frac{5}{6} < x < 0$ Verdadero

$x > 0$ Falso

Paso 13

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 1$ o $- \frac{5}{6} < x < 0$

Paso 14

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 1) \cup (- \frac{5}{6}, 0)$

Paso 15