Precálculo Ejemplos

$x^{4} > 225 x^{2}$

Paso 1

Resta $225 x^{2}$ de ambos lados de la desigualdad.

$x^{4} - 225 x^{2} > 0$

Paso 2

Convierte la desigualdad en una ecuación.

$x^{4} - 225 x^{2} = 0$

Paso 3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4} - 225 x^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Factoriza $x^{2}$ de $x^{4}$ .

$x^{2} x^{2} - 225 x^{2} = 0$

Paso 3.1.2

Factoriza $x^{2}$ de $- 225 x^{2}$ .

$x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 225 = 0$

Paso 3.1.3

Factoriza $x^{2}$ de $x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 225$ .

$x^{2} (x^{2} - 225) = 0$

Paso 3.2

Reescribe $225$ como $15^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 15^{2}) = 0$

Paso 3.3

Factoriza.

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Paso 3.3.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 15$ .

$x^{2} ((x + 15) (x - 15)) = 0$

Paso 3.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x^{2} (x + 15) (x - 15) = 0$

Paso 4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 15 = 0$

$x - 15 = 0$

Paso 5

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Establece $x + 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $x + 15$ igual a $0$ .

$x + 15 = 0$

Paso 6.2

Resta $15$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 15$

Paso 7

Establece $x - 15$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $x - 15$ igual a $0$ .

$x - 15 = 0$

Paso 7.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 15$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x + 15) (x - 15) = 0$ verdadera.

$x = 0, - 15, 15$

Paso 9

Usa cada raíz para crear intervalos de prueba.

$x < - 15$

$- 15 < x < 0$

$0 < x < 15$

$x > 15$

Paso 10

Elije un valor de prueba de cada intervalo y conecta este valor a la desigualdad original para determinar qué intervalos satisfacen la desigualdad.

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Paso 10.1

Prueba un valor en el intervalo $x < - 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.1.1

Elije un valor en el intervalo $x < - 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 18$

Paso 10.1.2

Reemplaza $x$ con $- 18$ en la desigualdad original.

${(- 18)}^{4} > 225 {(- 18)}^{2}$

Paso 10.1.3

$104976$ del lado izquierdo es mayor que $72900$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.2

Prueba un valor en el intervalo $- 15 < x < 0$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.2.1

Elije un valor en el intervalo $- 15 < x < 0$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = - 2$

Paso 10.2.2

Reemplaza $x$ con $- 2$ en la desigualdad original.

${(- 2)}^{4} > 225 {(- 2)}^{2}$

Paso 10.2.3

$16$ del lado izquierdo no es mayor que $900$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.3

Prueba un valor en el intervalo $0 < x < 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.3.1

Elije un valor en el intervalo $0 < x < 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 2$

Paso 10.3.2

Reemplaza $x$ con $2$ en la desigualdad original.

${(2)}^{4} > 225 {(2)}^{2}$

Paso 10.3.3

$16$ del lado izquierdo no es mayor que $900$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es falso.

False

Paso 10.4

Prueba un valor en el intervalo $x > 15$ para ver si este hace que la desigualdad sea verdadera.

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Paso 10.4.1

Elije un valor en el intervalo $x > 15$ y ve si este valor hace que la desigualdad original sea verdadera.

$x = 18$

Paso 10.4.2

Reemplaza $x$ con $18$ en la desigualdad original.

${(18)}^{4} > 225 {(18)}^{2}$

Paso 10.4.3

$104976$ del lado izquierdo es mayor que $72900$ del lado derecho, lo que significa que el enunciado dado es siempre verdadero.

True

Paso 10.5

Compara los intervalos para determinar cuáles satisfacen la desigualdad original.

$x < - 15$ Verdadero

$- 15 < x < 0$ Falso

$0 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

$x < - 15$ Verdadero

$- 15 < x < 0$ Falso

$0 < x < 15$ Falso

$x > 15$ Verdadero

Paso 11

La solución consiste en todos los intervalos verdaderos.

$x < - 15$ o $x > 15$

Paso 12

Convierte la desigualdad a notación de intervalo.

$(- \infty, - 15) \cup (15, \infty)$

Paso 13