Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 2, \pm 4, \pm 8$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} - 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} - 7 (- \frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.11

Multiplica $- 7 (- \frac{1}{8})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $- 7$ .

$\frac{1}{8} + 7 (\frac{1}{8}) - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.11.2

Combina $7$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.12

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.12.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.12.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.13

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.14

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.15

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 \frac{1}{2^{2}} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.16

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 8 (\frac{1}{4}) + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.17

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.17.1

Factoriza $4$ de $- 8$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 (- 2) \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.17.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} + 4 \cdot - 2 \frac{1}{4} + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.17.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (- \frac{1}{2}) + 8$

Paso 4.1.18

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.18.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{1}{2}$ al numerador.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 14 (\frac{- 1}{2}) + 8$

Paso 4.1.18.2

Factoriza $2$ de $14$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 (7) \frac{- 1}{2} + 8$

Paso 4.1.18.3

Cancela el factor común.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 2 \cdot 7 \frac{- 1}{2} + 8$

Paso 4.1.18.4

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 + 7 \cdot - 1 + 8$

Paso 4.1.19

Multiplica $7$ por $- 1$ .

$\frac{1}{8} + \frac{7}{8} - 2 - 7 + 8$

Paso 4.2

Combina fracciones.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 2 - 7 + 8 + \frac{1 + 7}{8}$

Paso 4.2.2

Suma $1$ y $7$ .

$- 2 - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Escribe $- 2$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 2}{1} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2}{1} \cdot \frac{8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{- 2}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} - 7 + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.4

Escribe $- 7$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7}{1} \cdot \frac{8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{- 7}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + 8 + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.7

Escribe $8$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.8

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{8}{8}$

Paso 4.3.9

Multiplica $\frac{8}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 2 \cdot 8}{8} + \frac{- 7 \cdot 8}{8} + \frac{8 \cdot 8}{8} + \frac{8}{8}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 2 \cdot 8 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.1

Multiplica $- 2$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 7 \cdot 8 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 7$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 8 \cdot 8 + 8}{8}$

Paso 4.5.3

Multiplica $8$ por $8$ .

$\frac{- 16 - 56 + 64 + 8}{8}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.6.1

Resta $56$ de $- 16$ .

$\frac{- 72 + 64 + 8}{8}$

Paso 4.6.2

Suma $- 72$ y $64$ .

$\frac{- 8 + 8}{8}$

Paso 4.6.3

Suma $- 8$ y $8$ .

$\frac{0}{8}$

Paso 4.6.4

Divide $0$ por $8$ .

$0$

Paso 5

Como $- \frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} - 7 x^{3} - 8 x^{2} + 14 x + 8}{x + \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$
	$2$	$- 8$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 8)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(4)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 4)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(2)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(14)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(16)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 8)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(8)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$- 7$	$- 8$	$14$	$8$
		$- 1$	$4$	$2$	$- 8$
	$2$	$- 8$	$- 4$	$16$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + - 8 x^{2} + (- 4) x + 16$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x + 16$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) - 8 x^{2} - 4 x + 16)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) - 4 x + 16)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $- 4 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 16)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $16$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x) + 2 \cdot 8)$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 4 x^{2}) + 2 (- 2 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8)$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x) + 2 \cdot 8$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} - 4 x^{2} - 2 x + 8))$

Paso 8

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 8.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x^{3} - 4 x^{2}) - 2 x + 8))$

Paso 8.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{2} (x - 4) - 2 (x - 4)))$

Paso 9

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.1

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $x - 4$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 ((x - 4) (x^{2} - 2)))$

Paso 9.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x - 4) (x^{2} - 2))$

Paso 10

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.1

Reagrupa los términos.

$- 7 x^{3} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 10.2

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3} + 14 x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x^{3}$ .

$- 7 x \cdot x^{2} + 14 x + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 10.2.2

Factoriza $- 7 x$ de $14 x$ .

$- 7 x \cdot x^{2} - 7 x \cdot - 2 + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 10.2.3

Factoriza $- 7 x$ de $- 7 x (x^{2}) - 7 x (- 2)$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 10.3

Factoriza $2$ de $2 x^{4} - 8 x^{2} + 8$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.3.1

Factoriza $2$ de $2 x^{4}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) - 8 x^{2} + 8 = 0$

Paso 10.3.2

Factoriza $2$ de $- 8 x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4}) + 2 (- 4 x^{2}) + 8 = 0$

Paso 10.3.3

Factoriza $2$ de $8$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Paso 10.3.4

Factoriza $2$ de $2 x^{4} + 2 (- 4 x^{2})$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4 = 0$

Paso 10.3.5

Factoriza $2$ de $2 (x^{4} - 4 x^{2}) + 2 \cdot 4$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (x^{4} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Paso 10.4

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 ({(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} + 4) = 0$

Paso 10.5

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 4) = 0$

Paso 10.6

Factoriza con la regla del cuadrado perfecto.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.6.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 4 u + 2^{2}) = 0$

Paso 10.6.2

Comprueba que el término medio sea dos veces el producto de los números que se elevan al cuadrado en el primer término y el tercer término.

$4 u = 2 \cdot u \cdot 2$

Paso 10.6.3

Reescribe el polinomio.

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 2 + 2^{2}) = 0$

Paso 10.6.4

Factoriza con la regla del trinomio cuadrado perfecto $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , donde $a = u$ y $b = 2$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(u - 2)}^{2} = 0$

Paso 10.7

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Paso 10.8

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- 7 x (x^{2} - 2) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.8.1

Factoriza $x^{2} - 2$ de $- 7 x (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + 2 {(x^{2} - 2)}^{2} = 0$

Paso 10.8.2

Factoriza $x^{2} - 2$ de $2 {(x^{2} - 2)}^{2}$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 10.8.3

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (- 7 x) + (x^{2} - 2) (2 (x^{2} - 2))$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 10.9

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} + 2 \cdot - 2) = 0$

Paso 10.10

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$(x^{2} - 2) (- 7 x + 2 x^{2} - 4) = 0$

Paso 10.11

Reordena los términos.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Paso 10.12

Factoriza.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.12.1

Factoriza por agrupación.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.12.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ y cuya suma es $b = - 7$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.12.1.1.1

Factoriza $- 7$ de $- 7 x$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} - 7 x - 4) = 0$

Paso 10.12.1.1.2

Reescribe $- 7$ como $1$ más $- 8$

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + (1 - 8) x - 4) = 0$

Paso 10.12.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + 1 x - 8 x - 4) = 0$

Paso 10.12.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (2 x^{2} + x - 8 x - 4) = 0$

Paso 10.12.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.12.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(x^{2} - 2) ((2 x^{2} + x) - 8 x - 4) = 0$

Paso 10.12.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(x^{2} - 2) (x (2 x + 1) - 4 (2 x + 1)) = 0$

Paso 10.12.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$(x^{2} - 2) ((2 x + 1) (x - 4)) = 0$

Paso 10.12.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$

Paso 11

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$2 x + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 12

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 12.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 12.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 12.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

Toca para ver más pasos...

Paso 12.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 12.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 12.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 13

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 13.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 13.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 13.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 13.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 14

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 14.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 14.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 15

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 2) (2 x + 1) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Paso 16

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, - \frac{1}{2}, 4$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, - 0.5, 4$

Paso 17