Precálculo Ejemplos

$2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$

Paso 1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm 7, \pm \frac{7}{2}, \pm 25, \pm \frac{25}{2}, \pm 35, \pm \frac{35}{2}, \pm 175, \pm \frac{175}{2}$

Paso 3

Sustituye las posibles raíces una por una en el polinomio para obtener las raíces reales. Simplifica para comprobar si el valor es $0$ , lo que significa que es una raíz.

$2 {(- \frac{1}{2})}^{4} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4

Simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $x = - \frac{1}{2}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 4.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} {(\frac{1}{2})}^{4}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$2 ({(- 1)}^{4} \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $4$ .

$2 (1 \frac{1^{4}}{2^{4}}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.3

Multiplica $\frac{1^{4}}{2^{4}}$ por $1$ .

$2 \frac{1^{4}}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$2 \frac{1}{2^{4}} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$2 (\frac{1}{16}) + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.1.6.1

Factoriza $2$ de $16$ .

$2 \frac{1}{2 (8)} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.6.2

Cancela el factor común.

$2 \frac{1}{2 \cdot 8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.6.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{8} + 7 {(- \frac{1}{2})}^{3} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{2})}^{3}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} + 7 ({(- 1)}^{3} \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.8

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1^{3}}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.9

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{2^{3}}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{8} + 7 (- \frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.11

Multiplica $7 (- \frac{1}{8})$ .

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Paso 4.1.11.1

Multiplica $- 1$ por $7$ .

$\frac{1}{8} - 7 (\frac{1}{8}) - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.11.2

Combina $- 7$ y $\frac{1}{8}$ .

$\frac{1}{8} + \frac{- 7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 {(- \frac{1}{2})}^{2} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.13

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 4.1.13.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.13.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 ({(- 1)}^{2} \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.14

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (1 \frac{1^{2}}{2^{2}}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.15

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.16

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 \frac{1}{2^{2}} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.17

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - 87 (\frac{1}{4}) - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.18

Combina $- 87$ y $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} + \frac{- 87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.19

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} - 395 (- \frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.20

Multiplica $- 395 (- \frac{1}{2})$ .

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Paso 4.1.20.1

Multiplica $- 1$ por $- 395$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + 395 (\frac{1}{2}) - 175$

Paso 4.1.20.2

Combina $395$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{8} - \frac{7}{8} - \frac{87}{4} + \frac{395}{2} - 175$

Paso 4.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$- 175 + \frac{1 - 7}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Paso 4.2.2

Resta $7$ de $1$ .

$- 175 + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.1

Escribe $- 175$ como una fracción con el denominador $1$ .

$\frac{- 175}{1} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3.2

Multiplica $\frac{- 175}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175}{1} \cdot \frac{8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3.3

Multiplica $\frac{- 175}{1}$ por $\frac{8}{8}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3.4

Multiplica $\frac{- 87}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3.5

Multiplica $\frac{- 87}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2}$

Paso 4.3.6

Multiplica $\frac{395}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Paso 4.3.7

Multiplica $\frac{395}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.8

Reordena los factores de $4 \cdot 2$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{2 \cdot 4} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.9

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Paso 4.3.10

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{- 175 \cdot 8}{8} + \frac{- 6}{8} + \frac{- 87 \cdot 2}{8} + \frac{395 \cdot 4}{8}$

Paso 4.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 175 \cdot 8 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5

Simplifica cada término.

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Paso 4.5.1

Multiplica $- 175$ por $8$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 87 \cdot 2 + 395 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5.2

Multiplica $- 87$ por $2$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 395 \cdot 4}{8}$

Paso 4.5.3

Multiplica $395$ por $4$ .

$\frac{- 1400 - 6 - 174 + 1580}{8}$

Paso 4.6

Simplifica la expresión.

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Paso 4.6.1

Resta $6$ de $- 1400$ .

$\frac{- 1406 - 174 + 1580}{8}$

Paso 4.6.2

Resta $174$ de $- 1406$ .

$\frac{- 1580 + 1580}{8}$

Paso 4.6.3

Suma $- 1580$ y $1580$ .

$\frac{0}{8}$

Paso 4.6.4

Divide $0$ por $8$ .

$0$

Paso 5

Como $- \frac{1}{2}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + \frac{1}{2}$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{x + \frac{1}{2}}$

Paso 6

Luego, obtén las raíces del polinomio restante. El orden del polinomio se ha reducido por $1$ .

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Paso 6.1

Coloca los números que representan el divisor y el dividendo en una configuración tipo división.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

Paso 6.2

El primer número en el dividendo $(2)$ se pone en la primera posición del área del resultado (debajo de la recta horizontal).

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$

	$2$

Paso 6.3

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(2)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 1)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(7)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$

Paso 6.4

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$
	$2$	$6$

Paso 6.5

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(6)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(- 3)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 87)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$

Paso 6.6

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$
	$2$	$6$	$- 90$

Paso 6.7

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 90)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(45)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 395)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$

Paso 6.8

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Paso 6.9

Multiplica la entrada más reciente en el resultado $(- 350)$ por el divisor $(- \frac{1}{2})$ y coloca el resultado de $(175)$ debajo del siguiente término en el dividendo $(- 175)$ .

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$

Paso 6.10

Suma el producto de la multiplicación y el número del dividendo y coloca el resultado en la siguiente posición en la línea del resultado.

$- \frac{1}{2}$	$2$	$7$	$- 87$	$- 395$	$- 175$
		$- 1$	$- 3$	$45$	$175$
	$2$	$6$	$- 90$	$- 350$	$0$

Paso 6.11

Todos los números excepto el último se convierten en coeficientes del polinomio del cociente. El último valor de la línea del resultado es el resto.

$2 x^{3} + 6 x^{2} + (- 90) x - 350$

Paso 6.12

Simplifica el polinomio del cociente.

$2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$

Paso 7

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 6 x^{2} - 90 x - 350$ .

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Paso 7.1

Factoriza $2$ de $2 x^{3}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 6 x^{2} - 90 x - 350)$

Paso 7.2

Factoriza $2$ de $6 x^{2}$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) - 90 x - 350)$

Paso 7.3

Factoriza $2$ de $- 90 x$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3}) + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) - 350)$

Paso 7.4

Factoriza $2$ de $- 350$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 x^{3} + 2 (3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Paso 7.5

Factoriza $2$ de $2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Paso 7.6

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} + 3 x^{2}) + 2 (- 45 x)$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175)$

Paso 7.7

Factoriza $2$ de $2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x) + 2 \cdot - 175$ .

$(x + \frac{1}{2}) (2 (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175))$

Paso 8

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 8.1

Factoriza $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.1.1

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 2$

Paso 8.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.5, \pm 175, \pm 87.5, \pm 5, \pm 2.5, \pm 35, \pm 17.5, \pm 7, \pm 3.5, \pm 25, \pm 12.5$

Paso 8.1.3

Sustituye $- 0.5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.1.3.1

Sustituye $- 0.5$ en el polinomio.

$2 {(- 0.5)}^{4} + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.2

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $4$ .

$2 \cdot 0.0625 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.3

Multiplica $2$ por $0.0625$ .

$0.125 + 7 {(- 0.5)}^{3} - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.4

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $3$ .

$0.125 + 7 \cdot - 0.125 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.5

Multiplica $7$ por $- 0.125$ .

$0.125 - 0.875 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.6

Resta $0.875$ de $0.125$ .

$- 0.75 - 87 {(- 0.5)}^{2} - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.7

Eleva $- 0.5$ a la potencia de $2$ .

$- 0.75 - 87 \cdot 0.25 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.8

Multiplica $- 87$ por $0.25$ .

$- 0.75 - 21.75 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.9

Resta $21.75$ de $- 0.75$ .

$- 22.5 - 395 \cdot - 0.5 - 175$

Paso 8.1.3.10

Multiplica $- 395$ por $- 0.5$ .

$- 22.5 + 197.5 - 175$

Paso 8.1.3.11

Suma $- 22.5$ y $197.5$ .

$175 - 175$

Paso 8.1.3.12

Resta $175$ de $175$ .

$0$

Paso 8.1.4

Como $- 0.5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $2 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175}{2 x + 1}$

Paso 8.1.5

Divide $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ por $2 x + 1$ .

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Paso 8.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Paso 8.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $2 x^{4}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

Paso 8.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

Paso 8.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $2 x^{4} + x^{3}$ .

				$x^{3}$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$

Paso 8.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

Paso 8.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Paso 8.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $6 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

Paso 8.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 8.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $6 x^{3} + 3 x^{2}$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

Paso 8.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

Paso 8.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Paso 8.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 90 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

Paso 8.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							-	$90 x^{2}$	-	$45 x$

Paso 8.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 90 x^{2} - 45 x$ .

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

Paso 8.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

Paso 8.1.5.16

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$2 x$

$1$

$2 x^{4}$

$7 x^{3}$

$87 x^{2}$

$395 x$

$175$

$2 x^{4}$

$x^{3}$

$6 x^{3}$

$87 x^{2}$

$6 x^{3}$

$3 x^{2}$

$90 x^{2}$

$395 x$

$90 x^{2}$

$45 x$

$350 x$

$175$

Paso 8.1.5.17

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 350 x$ por el término de mayor orden en el divisor $2 x$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$

Paso 8.1.5.18

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									-	$350 x$	-	$175$

Paso 8.1.5.19

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 350 x - 175$ .

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$

Paso 8.1.5.20

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
$2 x$	+	$1$		$2 x^{4}$	+	$7 x^{3}$	-	$87 x^{2}$	-	$395 x$	-	$175$
			-	$2 x^{4}$	-	$x^{3}$
					+	$6 x^{3}$	-	$87 x^{2}$
					-	$6 x^{3}$	-	$3 x^{2}$
							-	$90 x^{2}$	-	$395 x$
							+	$90 x^{2}$	+	$45 x$
									-	$350 x$	-	$175$
									+	$350 x$	+	$175$
												$0$

Paso 8.1.5.21

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$

Paso 8.1.6

Escribe $2 x^{4} + 7 x^{3} - 87 x^{2} - 395 x - 175$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 1) (x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175) = 0$

Paso 8.2

Factoriza $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 8.2.1

$p = \pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

$q = \pm 1$

Paso 8.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 175, \pm 5, \pm 35, \pm 7, \pm 25$

Paso 8.2.3

Sustituye $- 5$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 5$ es una raíz del polinomio.

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Paso 8.2.3.1

Sustituye $- 5$ en el polinomio.

${(- 5)}^{3} + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Paso 8.2.3.2

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$- 125 + 3 {(- 5)}^{2} - 45 \cdot - 5 - 175$

Paso 8.2.3.3

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$- 125 + 3 \cdot 25 - 45 \cdot - 5 - 175$

Paso 8.2.3.4

Multiplica $3$ por $25$ .

$- 125 + 75 - 45 \cdot - 5 - 175$

Paso 8.2.3.5

Suma $- 125$ y $75$ .

$- 50 - 45 \cdot - 5 - 175$

Paso 8.2.3.6

Multiplica $- 45$ por $- 5$ .

$- 50 + 225 - 175$

Paso 8.2.3.7

Suma $- 50$ y $225$ .

$175 - 175$

Paso 8.2.3.8

Resta $175$ de $175$ .

$0$

Paso 8.2.4

Como $- 5$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x + 5$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175}{x + 5}$

Paso 8.2.5

Divide $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ por $x + 5$ .

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Paso 8.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$5$

$x^{3}$

$3 x^{2}$

$45 x$

$175$

Paso 8.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$

Paso 8.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			+	$x^{3}$	+	$5 x^{2}$

Paso 8.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} + 5 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$

Paso 8.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$

Paso 8.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Paso 8.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$

Paso 8.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					-	$2 x^{2}$	-	$10 x$

Paso 8.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x^{2} - 10 x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$

Paso 8.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$

Paso 8.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$2 x$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Paso 8.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 35 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$

Paso 8.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							-	$35 x$	-	$175$

Paso 8.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 35 x - 175$ .

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$

Paso 8.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$2 x$	-	$35$
$x$	+	$5$		$x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$45 x$	-	$175$
			-	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$
					-	$2 x^{2}$	-	$45 x$
					+	$2 x^{2}$	+	$10 x$
							-	$35 x$	-	$175$
							+	$35 x$	+	$175$
										$0$

Paso 8.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 2 x - 35$

Paso 8.2.6

Escribe $x^{3} + 3 x^{2} - 45 x - 175$ como un conjunto de factores.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x^{2} - 2 x - 35)) = 0$

Paso 8.3

Factoriza $x^{2} - 2 x - 35$ con el método AC.

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Paso 8.3.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 35$ con el método AC.

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Paso 8.3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 35$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 7, 5$

Paso 8.3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$(2 x + 1) ((x + 5) ((x - 7) (x + 5))) = 0$

Paso 8.3.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) ((x + 5) (x - 7) (x + 5)) = 0$

Paso 8.4

Combina exponentes.

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Paso 8.4.1

Combina exponentes.

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Paso 8.4.1.1

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Paso 8.4.1.2

Eleva $x + 5$ a la potencia de $1$ .

$(2 x + 1) ((x + 5) (x + 5) (x - 7)) = 0$

Paso 8.4.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{1 + 1} (x - 7)) = 0$

Paso 8.4.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$(2 x + 1) ({(x + 5)}^{2} (x - 7)) = 0$

Paso 8.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$

Paso 9

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

${(x + 5)}^{2} = 0$

$x - 7 = 0$

Paso 10

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 10.1

Establece $2 x + 1$ igual a $0$ .

$2 x + 1 = 0$

Paso 10.2

Resuelve $2 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 10.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 x = - 1$

Paso 10.2.2

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 10.2.2.1

Divide cada término en $2 x = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 10.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 10.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{2}$

Paso 10.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 10.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 11

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 11.1

Establece ${(x + 5)}^{2}$ igual a $0$ .

${(x + 5)}^{2} = 0$

Paso 11.2

Resuelve ${(x + 5)}^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 11.2.1

Establece $x + 5$ igual a $0$ .

$x + 5 = 0$

Paso 11.2.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 5$

Paso 12

Establece $x - 7$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 12.1

Establece $x - 7$ igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Paso 12.2

Suma $7$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 7$

Paso 13

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 x + 1) {(x + 5)}^{2} (x - 7) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{2}, - 5, 7$

Paso 14