Precálculo Ejemplos

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

Paso 1

Resta $\frac{1}{4}$ de ambos lados de la ecuación.

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

Paso 2

Simplifica $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ .

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Paso 2.1

Para escribir $2^{7 - 3 x}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Paso 2.2

Combina $2^{7 - 3 x}$ y $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

Paso 2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

Paso 2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

Paso 2.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

Paso 2.4.3

Suma $7$ y $2$ .

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

Paso 2.4.4

Reescribe $2^{- 3 x + 9}$ como ${(2^{- x + 3})}^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

Paso 2.4.5

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

Paso 2.4.6

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = 2^{- x + 3}$ y $b = 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7

Simplifica.

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Paso 2.4.7.1

Multiplica los exponentes en ${(2^{- x + 3})}^{2}$ .

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Paso 2.4.7.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7.1.4

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7.2

Multiplica $2^{- x + 3}$ por $1$ .

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

Paso 2.4.7.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

Paso 3

Establece el numerador igual a cero.

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

Paso 4

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 4.1

Simplifica $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ .

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Paso 4.1.1

Expande $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 4.1.2.1

Combina los términos opuestos en $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ .

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Paso 4.1.2.1.1

Reordena los factores en los términos $2^{- x + 3} \cdot 1$ y $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.1.2

Resta $1 \cdot 2^{- x + 3}$ de $1 \cdot 2^{- x + 3}$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.1.3

Suma $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ y $0$ .

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.2.1

Multiplica $2^{- x + 3}$ por $2^{- 2 x + 6}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.1.2

Resta $2 x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.1.3

Suma $3$ y $6$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.2

Multiplica $2^{- x + 3}$ por $2^{- x + 3}$ sumando los exponentes.

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Paso 4.1.2.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.2.2

Resta $x$ de $- x$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.2.3

Suma $3$ y $3$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.3

Reescribe $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ como $- 2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

Paso 4.1.2.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

Paso 4.1.2.3

Combina los términos opuestos en $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ .

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Paso 4.1.2.3.1

Resta $2^{- 2 x + 6}$ de $2^{- 2 x + 6}$ .

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

Paso 4.1.2.3.2

Suma $2^{- 3 x + 9}$ y $0$ .

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

Paso 4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2^{- 3 x + 9} = 1$

Paso 4.3

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

Paso 4.4

Expande $\ln (2^{- 3 x + 9})$ ; para ello, mueve $- 3 x + 9$ fuera del logaritmo.

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4.5

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

Paso 4.6

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.6.1

El logaritmo natural de $1$ es $0$ .

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

Paso 4.7

Resta $9 \ln (2)$ de ambos lados de la ecuación.

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

Paso 4.8

Divide cada término en $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2)$ y simplifica.

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Paso 4.8.1

Divide cada término en $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ por $- 3 \ln (2)$ .

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.8.2.1

Cancela el factor común de $- 3$ .

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Paso 4.8.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.2.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.8.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.2.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.8.3.1

Cancela el factor común de $- 9$ y $- 3$ .

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Paso 4.8.3.1.1

Factoriza $- 3$ de $- 9 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.8.3.1.2.1

Factoriza $- 3$ de $- 3 \ln (2)$ .

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

Paso 4.8.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.8.3.2

Cancela el factor común de $\ln (2)$ .

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Paso 4.8.3.2.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

Paso 4.8.3.2.2

Divide $3$ por $1$ .

$x = 3$