Precálculo Ejemplos

$\cos (4 x) - \cos (2 x) = 0$

Paso 1

Simplifica el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.1

Factoriza $2$ de $4 x$ .

$\cos (2 (2 x)) - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.1

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.2

Reescribe ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ como $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ .

$2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.3

Expande $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.2.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.2

Multiplica $\cos^{2} (x)$ por $\cos^{2} (x)$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.2.4.1.2.1

Mueve $\cos^{2} (x)$ .

$2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.2.3

Suma $2$ y $2$ .

$2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.5

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.4.2

Resta $2 \cos^{2} (x)$ de $- 2 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.6

Simplifica.

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Paso 1.1.2.6.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.6.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.2.6.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.3

Resta $1$ de $2$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - \cos (2 x) = 0$

Paso 1.1.4

Usa la razón del ángulo doble para transformar $\cos (2 x)$ a $2 \cos^{2} (x) - 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

Paso 1.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

Paso 1.1.6

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 1.1.7

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 1.2

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 1.2.1

Resta $2 \cos^{2} (x)$ de $- 8 \cos^{2} (x)$ .

$8 \cos^{4} (x) + 1 - 10 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

Paso 1.2.2

Suma $1$ y $1$ .

$8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2

Factoriza $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.1

Factoriza $2$ de $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ .

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Paso 2.1.1

Factoriza $2$ de $8 \cos^{4} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $2$ de $2$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) - 10 \cos^{2} (x) = 0$

Paso 2.1.3

Factoriza $2$ de $- 10 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.4

Factoriza $2$ de $2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $2$ de $2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x))$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1 - 5 \cos^{2} (x)) = 0$

Paso 2.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.1

Reordena los términos.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.2

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 \cos^{2} (x)$ .

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.2.2

Reescribe $- 5$ como $- 1$ más $- 4$

$2 (4 \cos^{4} (x) + (- 1 - 4) \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.3.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x) - 1) - (4 \cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.2.4

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 \cos^{2} (x) - 1$ .

$2 ((4 \cos^{2} (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.3

Reescribe $4 \cos^{2} (x)$ como ${(2 \cos (x))}^{2}$ .

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.4

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2}) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.5

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = 2 \cos (x)$ y $b = 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

Paso 2.6

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

Paso 2.7

Factoriza.

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Paso 2.7.1

Factoriza.

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Paso 2.7.1.1

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (x)$ y $b = 1$ .

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

Paso 2.7.1.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Paso 2.7.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Paso 3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 4

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $2 \cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) + 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $2 \cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = - 1$

Paso 4.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = - 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

Paso 4.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Paso 4.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Paso 4.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (- \frac{1}{2})$ es $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.5

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.6

Simplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Paso 4.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 4.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Paso 4.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Paso 4.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Paso 4.2.6.3.2

Resta $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Paso 4.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 4.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 4.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 4.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 4.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 4.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 5.1

Establece $2 \cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$2 \cos (x) - 1 = 0$

Paso 5.2

Resuelve $2 \cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 5.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 \cos (x) = 1$

Paso 5.2.2

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 5.2.2.1

Divide cada término en $2 \cos (x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Divide $\cos (x)$ por $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Paso 5.2.3

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Paso 5.2.4

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.4.1

El valor exacto de $\arccos (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Paso 5.2.5

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6

Simplifica $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Paso 5.2.6.1

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 5.2.6.2.1

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 5.2.6.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 5.2.6.3

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.6.3.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 5.2.6.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Paso 5.2.7

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 5.2.7.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 5.2.7.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 5.2.7.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 5.2.7.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 5.2.8

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 6

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 6.1

Establece $\cos (x) + 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) + 1 = 0$

Paso 6.2

Resuelve $\cos (x) + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 6.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = - 1$

Paso 6.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (- 1)$

Paso 6.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 6.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (- 1)$ es $π$ .

$x = π$

Paso 6.2.4

El coseno es negativo en el segundo y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π - π$

Paso 6.2.5

Resta $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Paso 6.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 6.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 6.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 6.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 6.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 6.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 7

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 7.1

Establece $\cos (x) - 1$ igual a $0$ .

$\cos (x) - 1 = 0$

Paso 7.2

Resuelve $\cos (x) - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 7.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$\cos (x) = 1$

Paso 7.2.2

Resta la inversa del coseno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior del coseno.

$x = \arccos (1)$

Paso 7.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.2.3.1

El valor exacto de $\arccos (1)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 7.2.4

La función coseno es positiva en el primer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $2 π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = 2 π - 0$

Paso 7.2.5

Resta $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Paso 7.2.6

Obtén el período de $\cos (x)$ .

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Paso 7.2.6.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 7.2.6.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 7.2.6.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 7.2.6.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 7.2.7

El período de la función $\cos (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 8

La solución final comprende todos los valores que hacen $2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 9

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$