Precálculo Ejemplos

$f (x) = 12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$

Paso 1

Establece $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ igual a $0$ .

$12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Factoriza $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 6, \pm 2, \pm 3$

$q = \pm 1, \pm 12, \pm 2, \pm 6, \pm 3, \pm 4$

Paso 2.1.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.08\overline{3}, \pm 0.5, \pm 0.1\overline{6}, \pm 0.\overline{3}, \pm 0.25, \pm 6, \pm 3, \pm 2, \pm 1.5, \pm 0.\overline{6}, \pm 0.75$

Paso 2.1.1.3

Sustituye $- 0.\overline{3}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $- 0.\overline{3}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.1.3.1

Sustituye $- 0.\overline{3}$ en el polinomio.

$12 {(- 0.\overline{3})}^{3} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.2

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $3$ .

$12 \cdot - 0.\overline{037} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.3

Multiplica $12$ por $- 0.\overline{037}$ .

$- 0.\overline{4} + 73 {(- 0.\overline{3})}^{2} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.4

Eleva $- 0.\overline{3}$ a la potencia de $2$ .

$- 0.\overline{4} + 73 \cdot 0.\overline{1} + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.5

Multiplica $73$ por $0.\overline{1}$ .

$- 0.\overline{4} + 8.11111111 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.6

Suma $- 0.\overline{4}$ y $8.11111111$ .

$7.66666666 + 5 \cdot - 0.\overline{3} - 6$

Paso 2.1.1.3.7

Multiplica $5$ por $- 0.\overline{3}$ .

$7.66666666 - 1.\overline{6} - 6$

Paso 2.1.1.3.8

Resta $1.\overline{6}$ de $7.66666666$ .

$6 - 6$

Paso 2.1.1.3.9

Resta $6$ de $6$ .

$0$

Paso 2.1.1.4

Como $- 0.\overline{3}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $3 x + 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6}{3 x + 1}$

Paso 2.1.1.5

Divide $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ por $3 x + 1$ .

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Paso 2.1.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$3 x$

$1$

$12 x^{3}$

$73 x^{2}$

$5 x$

$6$

Paso 2.1.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $12 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

					$4 x^{2}$
	$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$

Paso 2.1.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			+	$12 x^{3}$	+	$4 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $12 x^{3} + 4 x^{2}$ .

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$

Paso 2.1.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 2.1.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $69 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$

Paso 2.1.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					+	$69 x^{2}$	+	$23 x$

Paso 2.1.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $69 x^{2} + 23 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$

Paso 2.1.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$

Paso 2.1.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Paso 2.1.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 18 x$ por el término de mayor orden en el divisor $3 x$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$

Paso 2.1.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							-	$18 x$	-	$6$

Paso 2.1.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 18 x - 6$ .

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$

Paso 2.1.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$4 x^{2}$	+	$23 x$	-	$6$
$3 x$	+	$1$		$12 x^{3}$	+	$73 x^{2}$	+	$5 x$	-	$6$
			-	$12 x^{3}$	-	$4 x^{2}$
					+	$69 x^{2}$	+	$5 x$
					-	$69 x^{2}$	-	$23 x$
							-	$18 x$	-	$6$
							+	$18 x$	+	$6$
										$0$

Paso 2.1.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$4 x^{2} + 23 x - 6$

Paso 2.1.1.6

Escribe $12 x^{3} + 73 x^{2} + 5 x - 6$ como un conjunto de factores.

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 x - 6) = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 4 \cdot - 6 = - 24$ y cuya suma es $b = 23$ .

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Paso 2.1.2.1.1.1

Factoriza $23$ de $23 x$ .

$(3 x + 1) (4 x^{2} + 23 (x) - 6) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.2

Reescribe $23$ como $- 1$ más $24$

$(3 x + 1) (4 x^{2} + (- 1 + 24) x - 6) = 0$

Paso 2.1.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(3 x + 1) (4 x^{2} - 1 x + 24 x - 6) = 0$

Paso 2.1.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$(3 x + 1) ((4 x^{2} - 1 x) + 24 x - 6) = 0$

Paso 2.1.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$(3 x + 1) (x (4 x - 1) + 6 (4 x - 1)) = 0$

Paso 2.1.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $4 x - 1$ .

$(3 x + 1) ((4 x - 1) (x + 6)) = 0$

Paso 2.1.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

$4 x - 1 = 0$

$x + 6 = 0$

Paso 2.3

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $3 x + 1$ igual a $0$ .

$3 x + 1 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $3 x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$3 x = - 1$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $3 x = - 1$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{3}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1}{3}$

Paso 2.4

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $4 x - 1$ igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $4 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$4 x = 1$

Paso 2.4.2.2

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ y simplifica.

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Paso 2.4.2.2.1

Divide cada término en $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.4.2.2.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 2.4.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Paso 2.4.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Paso 2.5

Establece $x + 6$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x + 6$ igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Paso 2.5.2

Resta $6$ de ambos lados de la ecuación.

$x = - 6$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(3 x + 1) (4 x - 1) (x + 6) = 0$ verdadera.

$x = - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, - 6$

Paso 3