Precálculo Ejemplos

$f (x) = x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$

Paso 1

Establece $x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4$ igual a $0$ .

$x^{5} - 4 x^{4} - x^{3} + 10 x^{2} - 2 x - 4 = 0$

Paso 2

Resuelve $x$

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Paso 2.1

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.1.1

Reagrupa los términos.

$x^{5} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2

Factoriza $x$ de $x^{5} - x^{3} - 2 x$ .

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Paso 2.1.2.1

Factoriza $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} - x^{3} - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.2

Factoriza $x$ de $- x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) - 2 x - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.3

Factoriza $x$ de $- 2 x$ .

$x \cdot x^{4} + x (- x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.4

Factoriza $x$ de $x \cdot x^{4} + x (- x^{2})$ .

$x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2 - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.2.5

Factoriza $x$ de $x (x^{4} - x^{2}) + x \cdot - 2$ .

$x (x^{4} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.3

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} - x^{2} - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.4

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (u^{2} - u - 2) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.5

Factoriza $u^{2} - u - 2$ con el método AC.

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Paso 2.1.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 2.1.5.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$x ((u - 2) (u + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.6

Factoriza.

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Paso 2.1.6.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2) (x^{2} + 1)) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.6.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) - 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.7

Factoriza $2$ de $- 4 x^{4} + 10 x^{2} - 4$ .

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Paso 2.1.7.1

Factoriza $2$ de $- 4 x^{4}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 10 x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.1.7.2

Factoriza $2$ de $10 x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) - 4 = 0$

Paso 2.1.7.3

Factoriza $2$ de $- 4$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Paso 2.1.7.4

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{4}) + 2 (5 x^{2})$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2) = 0$

Paso 2.1.7.5

Factoriza $2$ de $2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2}) + 2 (- 2)$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{4} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.8

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 {(x^{2})}^{2} + 5 x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.9

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 u - 2) = 0$

Paso 2.1.10

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.1.10.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = - 2 \cdot - 2 = 4$ y cuya suma es $b = 5$ .

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Paso 2.1.10.1.1

Factoriza $5$ de $5 u$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 5 (u) - 2) = 0$

Paso 2.1.10.1.2

Reescribe $5$ como $1$ más $4$

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + (1 + 4) u - 2) = 0$

Paso 2.1.10.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + 1 u + 4 u - 2) = 0$

Paso 2.1.10.1.4

Multiplica $u$ por $1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 u^{2} + u + 4 u - 2) = 0$

Paso 2.1.10.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.1.10.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u^{2} + u) + 4 u - 2) = 0$

Paso 2.1.10.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (u (- 2 u + 1) - 2 (- 2 u + 1)) = 0$

Paso 2.1.10.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $- 2 u + 1$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 u + 1) (u - 2)) = 0$

Paso 2.1.11

Factoriza.

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Paso 2.1.11.1

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 ((- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)) = 0$

Paso 2.1.11.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.12

Factoriza $x^{2} - 2$ de $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

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Paso 2.1.12.1

Factoriza $x^{2} - 2$ de $x (x^{2} - 2) (x^{2} + 1)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + 2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2) = 0$

Paso 2.1.12.2

Factoriza $x^{2} - 2$ de $2 (- 2 x^{2} + 1) (x^{2} - 2)$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.12.3

Factoriza $x^{2} - 2$ de $(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1)) + (x^{2} - 2) (2 (- 2 x^{2} + 1))$ .

$(x^{2} - 2) (x (x^{2} + 1) + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.13

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.14

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.14.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 2.1.14.1.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$(x^{2} - 2) (x \cdot x^{2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.14.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$(x^{2} - 2) (x^{1 + 2} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.14.2

Suma $1$ y $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x \cdot 1 + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.15

Multiplica $x$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2} + 1)) = 0$

Paso 2.1.16

Aplica la propiedad distributiva.

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x + 2 (- 2 x^{2}) + 2 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.17

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2 \cdot 1) = 0$

Paso 2.1.18

Multiplica $2$ por $1$ .

$(x^{2} - 2) (x^{3} + x - 4 x^{2} + 2) = 0$

Paso 2.1.19

Reordena los términos.

$(x^{2} - 2) (x^{3} - 4 x^{2} + x + 2) = 0$

Paso 2.1.20

Factoriza.

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Paso 2.1.20.1

Factoriza $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 2.1.20.1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1$

Paso 2.1.20.1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 2$

Paso 2.1.20.1.3

Sustituye $1$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1$ es una raíz del polinomio.

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Paso 2.1.20.1.3.1

Sustituye $1$ en el polinomio.

$1^{3} - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.2

Eleva $1$ a la potencia de $3$ .

$1 - 4 \cdot 1^{2} + 1 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.3

Eleva $1$ a la potencia de $2$ .

$1 - 4 \cdot 1 + 1 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.4

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$1 - 4 + 1 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.5

Resta $4$ de $1$ .

$- 3 + 1 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.6

Suma $- 3$ y $1$ .

$- 2 + 2$

Paso 2.1.20.1.3.7

Suma $- 2$ y $2$ .

$0$

Paso 2.1.20.1.4

Como $1$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $x - 1$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{x^{3} - 4 x^{2} + x + 2}{x - 1}$

Paso 2.1.20.1.5

Divide $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ por $x - 1$ .

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Paso 2.1.20.1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{3}$

$4 x^{2}$

$x$

$2$

Paso 2.1.20.1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x^{2}$
	$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$

Paso 2.1.20.1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			+	$x^{3}$	-	$x^{2}$

Paso 2.1.20.1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{3} - x^{2}$ .

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$

Paso 2.1.20.1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

Paso 2.1.20.1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.20.1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 3 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

Paso 2.1.20.1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					-	$3 x^{2}$	+	$3 x$

Paso 2.1.20.1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 3 x^{2} + 3 x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$

Paso 2.1.20.1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$

Paso 2.1.20.1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.20.1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 2 x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.20.1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							-	$2 x$	+	$2$

Paso 2.1.20.1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 2 x + 2$ .

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$

Paso 2.1.20.1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$2$
$x$	-	$1$		$x^{3}$	-	$4 x^{2}$	+	$x$	+	$2$
			-	$x^{3}$	+	$x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
					+	$3 x^{2}$	-	$3 x$
							-	$2 x$	+	$2$
							+	$2 x$	-	$2$
										$0$

Paso 2.1.20.1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} - 3 x - 2$

Paso 2.1.20.1.6

Escribe $x^{3} - 4 x^{2} + x + 2$ como un conjunto de factores.

$(x^{2} - 2) ((x - 1) (x^{2} - 3 x - 2)) = 0$

Paso 2.1.20.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

$x - 1 = 0$

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Paso 2.3

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $x^{2} - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $x^{2} - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 2$

Paso 2.3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Paso 2.3.2.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.3.2.3.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \sqrt{2}$

Paso 2.3.2.3.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \sqrt{2}$

Paso 2.3.2.3.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Paso 2.4

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 3 x - 2$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 3 x - 2$ igual a $0$ .

$x^{2} - 3 x - 2 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 3 x - 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 2.5.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 3$ y $c = - 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{3 \pm \sqrt{{(- 3)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica.

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Paso 2.5.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.5.2.3.1.1

Eleva $- 3$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 2$ .

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Paso 2.5.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 2$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.1.3

Suma $9$ y $8$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Paso 2.5.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}$

Paso 2.5.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $(x^{2} - 2) (x - 1) (x^{2} - 3 x - 2) = 0$ verdadera.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Paso 3

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}, 1, \frac{3 + \sqrt{17}}{2}, \frac{3 - \sqrt{17}}{2}$

Forma decimal:

$x = 1.41421356 \dots, - 1.41421356 \dots, 1, 3.56155281 \dots, - 0.56155281 \dots$

Paso 4