Precálculo Ejemplos

$7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11 = 0$

Paso 1

Factoriza $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 1.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 11$

$q = \pm 1, \pm 7$

Paso 1.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{142857}, \pm 11, \pm 1.\overline{571428}$

Paso 1.3

Sustituye $1.\overline{571428}$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1.\overline{571428}$ es una raíz del polinomio.

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Paso 1.3.1

Sustituye $1.\overline{571428}$ en el polinomio.

$7 \cdot {1.\overline{571428}}^{3} + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.2

Eleva $1.\overline{571428}$ a la potencia de $3$ .

$7 \cdot 3.88046647 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.3

Multiplica $7$ por $3.88046647$ .

$27.1632653 + 3 \cdot {1.\overline{571428}}^{2} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.4

Eleva $1.\overline{571428}$ a la potencia de $2$ .

$27.1632653 + 3 \cdot 2.46938775 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.5

Multiplica $3$ por $2.46938775$ .

$27.1632653 + 7.40816326 - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.6

Suma $27.1632653$ y $7.40816326$ .

$34.\overline{571428} - 29 \cdot 1.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.7

Multiplica $- 29$ por $1.\overline{571428}$ .

$34.\overline{571428} - 45.\overline{571428} + 11$

Paso 1.3.8

Resta $45.\overline{571428}$ de $34.\overline{571428}$ .

$- 11 + 11$

Paso 1.3.9

Suma $- 11$ y $11$ .

$0$

Paso 1.4

Como $1.\overline{571428}$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $7 x - 11$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11}{7 x - 11}$

Paso 1.5

Divide $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ por $7 x - 11$ .

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Paso 1.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$7 x$

$11$

$7 x^{3}$

$3 x^{2}$

$29 x$

$11$

Paso 1.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $7 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

					$x^{2}$
	$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$

Paso 1.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			+	$7 x^{3}$	-	$11 x^{2}$

Paso 1.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $7 x^{3} - 11 x^{2}$ .

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$

Paso 1.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$

Paso 1.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

Paso 1.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $14 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$

Paso 1.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					+	$14 x^{2}$	-	$22 x$

Paso 1.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $14 x^{2} - 22 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$

Paso 1.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$

Paso 1.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x^{2}$	+	$2 x$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

Paso 1.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 7 x$ por el término de mayor orden en el divisor $7 x$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$

Paso 1.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							-	$7 x$	+	$11$

Paso 1.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 7 x + 11$ .

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$

Paso 1.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
$7 x$	-	$11$		$7 x^{3}$	+	$3 x^{2}$	-	$29 x$	+	$11$
			-	$7 x^{3}$	+	$11 x^{2}$
					+	$14 x^{2}$	-	$29 x$
					-	$14 x^{2}$	+	$22 x$
							-	$7 x$	+	$11$
							+	$7 x$	-	$11$
										$0$

Paso 1.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$x^{2} + 2 x - 1$

Paso 1.6

Escribe $7 x^{3} + 3 x^{2} - 29 x + 11$ como un conjunto de factores.

$(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$

Paso 2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$7 x - 11 = 0$

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 3

Establece $7 x - 11$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.1

Establece $7 x - 11$ igual a $0$ .

$7 x - 11 = 0$

Paso 3.2

Resuelve $7 x - 11 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.2.1

Suma $11$ a ambos lados de la ecuación.

$7 x = 11$

Paso 3.2.2

Divide cada término en $7 x = 11$ por $7$ y simplifica.

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Paso 3.2.2.1

Divide cada término en $7 x = 11$ por $7$ .

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

Paso 3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 x}{7} = \frac{11}{7}$

Paso 3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{11}{7}$

Paso 4

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 4.1

Establece $x^{2} + 2 x - 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Paso 4.2

Resuelve $x^{2} + 2 x - 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 4.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 4.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 2$ y $c = - 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica.

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Paso 4.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 4.2.3.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Paso 4.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.3

Suma $4$ y $4$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4

Reescribe $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Paso 4.2.3.1.4.1

Factoriza $4$ de $8$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.4.2

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{- 2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.1.5

Retira los términos de abajo del radical.

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Paso 4.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Paso 4.2.3.3

Simplifica $\frac{- 2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$x = - 1 \pm \sqrt{2}$

Paso 4.2.4

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(7 x - 11) (x^{2} + 2 x - 1) = 0$ verdadera.

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 6

El resultado puede mostrarse de distintas formas.

Forma exacta:

$x = \frac{11}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Forma decimal:

$x = 1.\overline{571428}, 0.41421356 \dots, - 2.41421356 \dots$

Forma de número mixto:

$x = 1 \frac{4}{7}, - 1 + \sqrt{2}, - 1 - \sqrt{2}$

Paso 7