Precálculo Ejemplos

$\frac{x - 2}{x^{2} + 4 x + 3}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} + 4 x + 3$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $3$ y cuya suma es $4$ .

$1, 3$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x - 2}{(x + 1) (x + 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 1) (x + 3)$ .

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 1) (x + 3)}{(x + 1) (x + 3)} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x + 3)}{x + 3} = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.6.2

Divide $x - 2$ por $1$ .

$x - 2 = \frac{(A) (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x + 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x - 2 = \frac{A (x + 1) (x + 3)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 3)$ por $1$ .

$x - 2 = (A) (x + 3) + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 2 = A x + A \cdot 3 + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7.3

Mueve $3$ a la izquierda de $A$ .

$x - 2 = A x + 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x - 2 = A x + 3 A + \frac{(B) (x + 1) (x + 3)}{x + 3}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + (B) (x + 1)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B \cdot 1$

Paso 1.7.6

Multiplica $B$ por $1$ .

$x - 2 = A x + 3 A + B x + B$

Paso 1.8

Mueve $3 A$ .

$x - 2 = A x + B x + 3 A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$- 2 = 3 A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

$1 = A + B$

$- 2 = 3 A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$- 2 = 3 A + B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $- 2 = 3 A + B$ por $1 - B$ .

$- 2 = 3 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $3 (1 - B) + B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 2 = 3 \cdot 1 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$- 2 = 3 + 3 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 3 B + B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $- 3 B$ y $B$ .

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

$- 2 = 3 - 2 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $- 2 = 3 - 2 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $3 - 2 B = - 2$ .

$3 - 2 B = - 2$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $3$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 B = - 2 - 3$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $3$ de $- 2$ .

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

$- 2 B = - 5$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 2 B = - 5$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 2 B = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 B}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{- 5}{- 2}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{5}{2}$

$A = 1 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{5}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $\frac{5}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{5}{2})$

$B = \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $1 - (\frac{5}{2})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$A = \frac{2}{2} - \frac{5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{2 - 5}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2.1.3

Resta $5$ de $2$ .

$A = \frac{- 3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Paso 3.4.2.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

$A = - \frac{3}{2}$

$B = \frac{5}{2}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{3}{2}, B = \frac{5}{2}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x + 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{3}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{5}{2}}{x + 3}$