Precálculo Ejemplos

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 x + 3}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 8 \cdot 3 = 24$ y cuya suma es $b = - 10$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $- 10$ de $- 10 x$ .

$\frac{x}{8 x^{2} - 10 (x) + 3}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 10$ como $- 4$ más $- 6$

$\frac{x}{8 x^{2} + (- 4 - 6) x + 3}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x}{8 x^{2} - 4 x - 6 x + 3}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{x}{(8 x^{2} - 4 x) - 6 x + 3}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{x}{4 x (2 x - 1) - 3 (2 x - 1)}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x - 1$ .

$\frac{x}{(2 x - 1) (4 x - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x - 1) (4 x - 3)$ .

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (2 x - 1) (4 x - 3)}{(2 x - 1) (4 x - 3)} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $4 x - 3$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{x (4 x - 3)}{4 x - 3} = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.6.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{(A) (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $2 x - 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{A (2 x - 1) (4 x - 3)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (4 x - 3)$ por $1$ .

$x = (A) (4 x - 3) + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x = A (4 x) + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = 4 A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.4

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$x = 4 A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.5

Cancela el factor común de $4 x - 3$ .

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Paso 1.7.5.1

Cancela el factor común.

$x = 4 A x - 3 A + \frac{(B) (2 x - 1) (4 x - 3)}{4 x - 3}$

Paso 1.7.5.2

Divide $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$x = 4 A x - 3 A + (B) (2 x - 1)$

Paso 1.7.6

Aplica la propiedad distributiva.

$x = 4 A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Paso 1.7.7

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x + B \cdot - 1$

Paso 1.7.8

Mueve $- 1$ a la izquierda de $B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - 1 \cdot B$

Paso 1.7.9

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$x = 4 A x - 3 A + 2 B x - B$

Paso 1.8

Reordena.

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Paso 1.8.1

Mueve $A$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 B x - B$

Paso 1.8.2

Mueve $B$ .

$x = 4 x A - 3 A + 2 x B - B$

Paso 1.8.3

Mueve $- 3 A$ .

$x = 4 x A + 2 x B - 3 A - B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = 4 A + 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

$1 = 4 A + 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = 4 A + 2 B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $4 A + 2 B = 1$ .

$4 A + 2 B = 1$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$4 A = 1 - 2 B$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3

Divide cada término en $4 A = 1 - 2 B$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.1.3.1

Divide cada término en $4 A = 1 - 2 B$ por $4$ .

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.1.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.1.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 A}{4} = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.2.1.2

Divide $A$ por $1$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- 2 B}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.1.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 3.1.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 2 B$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{4}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.1.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 (2)}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{1}{4} + \frac{2 (- B)}{2 \cdot 2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} + \frac{- B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.1.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - 3 A - 1 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $0 = - 3 A - 1 B$ por $\frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ .

$0 = - 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 3 (\frac{1}{4} - \frac{B}{2}) - 1 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$0 = - 3 (\frac{1}{4}) - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.2

Combina $- 3$ y $\frac{1}{4}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} - 3 (- \frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 3 (- \frac{B}{2})$ .

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Paso 3.2.2.1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + 3 (\frac{B}{2}) - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.3.2

Combina $3$ y $\frac{B}{2}$ .

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = \frac{- 3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - 1 B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.1.5

Reescribe $- 1 B$ como $- B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.2

Para escribir $- B$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} - B \cdot \frac{2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.3

Simplifica los términos.

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Paso 3.2.2.1.3.1

Combina $- B$ y $\frac{2}{2}$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B}{2} + \frac{- B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{3 B - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.2.2.1.4.1.1

Factoriza $B$ de $3 B - B \cdot 2$ .

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Paso 3.2.2.1.4.1.1.1

Factoriza $B$ de $3 B$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 - B \cdot 2}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4.1.1.2

Factoriza $B$ de $- B \cdot 2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4.1.1.3

Factoriza $B$ de $B \cdot 3 + B (- 1 \cdot 2)$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 1 \cdot 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B (3 - 2)}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4.1.3

Resta $2$ de $3$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B \cdot 1}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.2.2.1.4.2

Multiplica $B$ por $1$ .

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $0 = - \frac{3}{4} + \frac{B}{2}$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{B}{2} = 0$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.2

Suma $\frac{3}{4}$ a ambos lados de la ecuación.

$\frac{B}{2} = \frac{3}{4}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.3

Multiplica ambos lados de la ecuación por $2$ .

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.4

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 3.3.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.4.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.1.1.1

Cancela el factor común.

$2 (\frac{B}{2}) = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.4.1.1.2

Reescribe la expresión.

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = 2 (\frac{3}{4})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.4.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.3.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$B = 2 (\frac{3}{2 (2)})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.4.2.1.2

Cancela el factor común.

$B = 2 (\frac{3}{2 \cdot 2})$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.3.4.2.1.3

Reescribe la expresión.

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{3}{2}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = \frac{1}{4} - \frac{B}{2}$ por $\frac{3}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $\frac{1}{4} - \frac{\frac{3}{2}}{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.2.1.1.1

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$A = \frac{1}{4} - (\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2})$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $\frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Paso 3.4.2.1.1.2.1

Multiplica $\frac{3}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.1.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{1}{4} - \frac{3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2

Simplifica los términos.

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Paso 3.4.2.1.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$A = \frac{1 - 3}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.2

Resta $3$ de $1$ .

$A = \frac{- 2}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.3

Cancela el factor común de $- 2$ y $4$ .

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Paso 3.4.2.1.2.3.1

Factoriza $2$ de $- 2$ .

$A = \frac{2 (- 1)}{4}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.2.1.2.3.2.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$A = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = \frac{- 1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.4.2.1.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

$A = - \frac{1}{2}$

$B = \frac{3}{2}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{1}{2}, B = \frac{3}{2}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{4 x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{1}{2}}{2 x - 1} + \frac{\frac{3}{2}}{4 x - 3}$