Precálculo Ejemplos

$\frac{x + 14}{x^{2} - 2 x - 8}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza $x^{2} - 2 x - 8$ con el método AC.

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Paso 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 8$ y cuya suma es $- 2$ .

$- 4, 2$

Paso 1.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{x + 14}{(x - 4) (x + 2)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x - 4}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x - 4) (x + 2)$ .

$\frac{(x + 14) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 14) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{(x + 14) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x + 14) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.6.2

Divide $x + 14$ por $1$ .

$x + 14 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x - 4$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$x + 14 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x + 2)$ por $1$ .

$x + 14 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 14 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7.3

Mueve $2$ a la izquierda de $A$ .

$x + 14 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x + 2$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$x + 14 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x - 4)$ por $1$ .

$x + 14 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$x + 14 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

Paso 1.7.6

Mueve $- 4$ a la izquierda de $B$ .

$x + 14 = A x + 2 A + B x - 4 B$

Paso 1.8

Mueve $2 A$ .

$x + 14 = A x + B x + 2 A - 4 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$1 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$14 = 2 A - 4 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$1 = A + B$

$14 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$14 = 2 A - 4 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $1 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$14 = 2 A - 4 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = 1 - B$

$14 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$14 = 2 A - 4 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $1 - B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $14 = 2 A - 4 B$ por $1 - B$ .

$14 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $2 (1 - B) - 4 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$14 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$14 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$14 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$14 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.2.2.1.2

Resta $4 B$ de $- 2 B$ .

$14 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$14 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$14 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$14 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $14 = 2 - 6 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $2 - 6 B = 14$ .

$2 - 6 B = 14$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $B$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 6 B = 14 - 2$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.2.2

Resta $2$ de $14$ .

$- 6 B = 12$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 12$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $- 6 B = 12$ por $- 6$ y simplifica.

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Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $- 6 B = 12$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{12}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $- 6$ .

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Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{12}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{12}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{12}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{12}{- 6}$

$A = 1 - B$

Paso 3.3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.3.1

Divide $12$ por $- 6$ .

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $- 2$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = 1 - B$ por $- 2$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $1 - (- 2)$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

Paso 3.4.2.1.2

Suma $1$ y $2$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = 3, B = - 2$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{3}{x - 4} + \frac{- 2}{x + 2}$