Precálculo Ejemplos

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 1.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ y cuya suma es $b = - 5$ .

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Paso 1.1.1.1

Factoriza $- 5$ de $- 5 x$ .

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

Paso 1.1.1.2

Reescribe $- 5$ como $1$ más $- 6$

$\frac{4}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

Paso 1.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

Paso 1.1.1.4

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{4}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

Paso 1.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 1.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

Paso 1.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

Paso 1.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 x + 1$ .

$\frac{4}{(2 x + 1) (x - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x + 1}$

Paso 1.3

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(2 x + 1) (x - 3)$ .

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.6.2

Divide $4$ por $1$ .

$4 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $2 x + 1$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$4 = \frac{A (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x - 3)$ por $1$ .

$4 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$4 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$4 = A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (2 x + 1)$ por $1$ .

$4 = A x - 3 A + (B) (2 x + 1)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$4 = A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 1$

Paso 1.7.6

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 1$

Paso 1.7.7

Multiplica $B$ por $1$ .

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B$

Paso 1.8

Simplifica la expresión.

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Paso 1.8.1

Mueve $B$ .

$4 = A x - 3 A + 2 x B + B$

Paso 1.8.2

Mueve $- 3 A$ .

$4 = A x + 2 x B - 3 A + B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + 2 B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$4 = - 3 A + B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + 2 B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + 2 B = 0$ .

$A + 2 B = 0$

$4 = - 3 A + B$

Paso 3.1.2

Resta $2 B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- 2 B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $4 = - 3 A + B$ por $- 2 B$ .

$4 = - 3 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- 2 B) + B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 2$ por $- 3$ .

$4 = 6 B + B$

$A = - 2 B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $6 B$ y $B$ .

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $4 = 7 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $7 B = 4$ .

$7 B = 4$

$A = - 2 B$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $7 B = 4$ por $7$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $7 B = 4$ por $7$ .

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $\frac{4}{7}$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - 2 B$ por $\frac{4}{7}$ .

$A = - 2 (\frac{4}{7})$

$B = \frac{4}{7}$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Simplifica $- 2 (\frac{4}{7})$ .

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Paso 3.4.2.1.1

Multiplica $- 2 (\frac{4}{7})$ .

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Paso 3.4.2.1.1.1

Combina $- 2$ y $\frac{4}{7}$ .

$A = \frac{- 2 \cdot 4}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Paso 3.4.2.1.1.2

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Paso 3.4.2.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - \frac{8}{7}, B = \frac{4}{7}$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- \frac{8}{7}}{2 x + 1} + \frac{\frac{4}{7}}{x - 3}$