Precálculo Ejemplos

$\frac{6}{x^{2} - 9}$

Paso 1

Descompone la fracción y multiplica por el denominador común.

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Paso 1.1

Factoriza la fracción.

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Paso 1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{6}{x^{2} - 3^{2}}$

Paso 1.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = x$ y $b = 3$ .

$\frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

Paso 1.2

Para cada factor del denominador, crea una nueva fracción con el factor como denominador y un valor desconocido como numerador. Dado que el factor en el denominador es lineal, coloca una sola variable en su lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 3}$

Paso 1.3

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$

Paso 1.4

Multiplica cada fracción en la ecuación por el denominador de la expresión original. En este caso, el denominador es $(x + 3) (x - 3)$ .

$\frac{6 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.5

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.5.2

Reescribe la expresión.

$\frac{6 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.6

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.6.2

Divide $6$ por $1$ .

$6 = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7

Simplifica cada término.

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Paso 1.7.1

Cancela el factor común de $x + 3$ .

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Paso 1.7.1.1

Cancela el factor común.

$6 = \frac{A (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.1.2

Divide $(A) (x - 3)$ por $1$ .

$6 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.2

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.3

Mueve $- 3$ a la izquierda de $A$ .

$6 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.4

Cancela el factor común de $x - 3$ .

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Paso 1.7.4.1

Cancela el factor común.

$6 = A x - 3 A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

Paso 1.7.4.2

Divide $(B) (x + 3)$ por $1$ .

$6 = A x - 3 A + (B) (x + 3)$

Paso 1.7.5

Aplica la propiedad distributiva.

$6 = A x - 3 A + B x + B \cdot 3$

Paso 1.7.6

Mueve $3$ a la izquierda de $B$ .

$6 = A x - 3 A + B x + 3 B$

Paso 1.8

Mueve $- 3 A$ .

$6 = A x + B x - 3 A + 3 B$

Paso 2

Crea ecuaciones para las variables de fracción simple y úsalas para establecer un sistema de ecuaciones.

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Paso 2.1

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de $x$ de cada lado de la ecuación. Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$0 = A + B$

Paso 2.2

Crea una ecuación para las variables de fracción simple al igualar los coeficientes de los términos que no contienen $x$ . Para que la ecuación sea igual, los coeficientes equivalentes en cada lado de la ecuación deben ser iguales.

$6 = - 3 A + 3 B$

Paso 2.3

Establece el sistema de ecuaciones para obtener los coeficientes de las fracciones parciales.

$0 = A + B$

$6 = - 3 A + 3 B$

$0 = A + B$

$6 = - 3 A + 3 B$

Paso 3

Resuelve el sistema de ecuaciones.

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Paso 3.1

Resuelve $A$ en $0 = A + B$ .

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Paso 3.1.1

Reescribe la ecuación como $A + B = 0$ .

$A + B = 0$

$6 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.1.2

Resta $B$ de ambos lados de la ecuación.

$A = - B$

$6 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$6 = - 3 A + 3 B$

Paso 3.2

Reemplaza todos los casos de $A$ por $- B$ en cada ecuación.

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Paso 3.2.1

Reemplaza todos los casos de $A$ en $6 = - 3 A + 3 B$ por $- B$ .

$6 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

Paso 3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.2.2.1

Simplifica $- 3 (- B) + 3 B$ .

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Paso 3.2.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 3$ .

$6 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

Paso 3.2.2.1.2

Suma $3 B$ y $3 B$ .

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

Paso 3.3

Resuelve $B$ en $6 = 6 B$ .

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Paso 3.3.1

Reescribe la ecuación como $6 B = 6$ .

$6 B = 6$

$A = - B$

Paso 3.3.2

Divide cada término en $6 B = 6$ por $6$ y simplifica.

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Paso 3.3.2.1

Divide cada término en $6 B = 6$ por $6$ .

$\frac{6 B}{6} = \frac{6}{6}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 B}{6} = \frac{6}{6}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.2.1.2

Divide $B$ por $1$ .

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

Paso 3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.2.3.1

Divide $6$ por $6$ .

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

Paso 3.4

Reemplaza todos los casos de $B$ por $1$ en cada ecuación.

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Paso 3.4.1

Reemplaza todos los casos de $B$ en $A = - B$ por $1$ .

$A = - (1)$

$B = 1$

Paso 3.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

Paso 3.5

Enumera todas las soluciones.

$A = - 1, B = 1$

Paso 4

Reemplaza cada uno de los coeficientes de fracción simple en $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$ con los valores obtenidos para $A$ y $B$ .

$\frac{- 1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}$