Precálculo Ejemplos

$\frac{3 + 2 i}{3 - 4 i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{3 + 2 i}{3 - 4 i}$ por el conjugado de $3 - 4 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{3 + 2 i}{3 - 4 i} \cdot \frac{3 + 4 i}{3 + 4 i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(3 + 2 i) (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(3 + 2 i) (3 + 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 (3 + 4 i) + 2 i (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 2 i (3 + 4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{3 \cdot 3 + 3 (4 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{9 + 3 (4 i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{9 + 12 i + 2 i \cdot 3 + 2 i (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 2 i (4 i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $2 i (4 i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 i i}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 (i^{1} i)}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 (i^{1} i^{1})}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 i^{1 + 1}}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 i^{2}}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i + 8 \cdot - 1}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{9 + 12 i + 6 i - 8}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.2

Resta $8$ de $9$ .

$\frac{1 + 12 i + 6 i}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $12 i$ y $6 i$ .

$\frac{1 + 18 i}{(3 - 4 i) (3 + 4 i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(3 - 4 i) (3 + 4 i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 18 i}{3 (3 + 4 i) - 4 i (3 + 4 i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 18 i}{3 \cdot 3 + 3 (4 i) - 4 i (3 + 4 i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{1 + 18 i}{3 \cdot 3 + 3 (4 i) - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $3$ por $3$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 3 (4 i) - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 4 i \cdot 3 - 4 i (4 i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $3$ por $- 4$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 4 i (4 i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $4$ por $- 4$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 12 i - 12 i - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Resta $12 i$ de $12 i$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 0 - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $9$ y $0$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 - 16 i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 - 16 \cdot - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 16$ por $- 1$ .

$\frac{1 + 18 i}{9 + 16}$

Paso 2.3.4

Suma $9$ y $16$ .

$\frac{1 + 18 i}{25}$

Paso 3

Divide la fracción $\frac{1 + 18 i}{25}$ en dos fracciones.

$\frac{1}{25} + \frac{18 i}{25}$