Precálculo Ejemplos

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + i}$

Paso 1

Multiplica el numerador y el denominador de $\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i}$ por el conjugado de $2 + 1 i$ para hacer real el denominador.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i)}{2 + 1 i} \cdot \frac{2 - i}{2 - i}$

Paso 2

Multiplica.

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Paso 2.1

Combinar.

$\frac{(1 + 2 i) (3 - i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.1

Expande $(1 + 2 i) (3 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 (3 - i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i (3 - i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(1 \cdot 3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{(3 + 1 (- i) + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.2

Multiplica $- i$ por $1$ .

$\frac{(3 - i + 2 i \cdot 3 + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.3

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2 i (- i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4

Multiplica $2 i (- i)$ .

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Paso 2.2.2.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i)) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 (i^{1} i^{1})) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{1 + 1}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 i^{2}) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i - 2 \cdot - 1) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 1$ .

$\frac{(3 - i + 6 i + 2) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.2

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{(5 - i + 6 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.2.3

Suma $- i$ y $6 i$ .

$\frac{(5 + 5 i) (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.3

Expande $(5 + 5 i) (2 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 (2 - i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i (2 - i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 \cdot 2 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 2.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.4.1.1

Multiplica $5$ por $2$ .

$\frac{10 + 5 (- i) + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 5 i \cdot 2 + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.3

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5 i (- i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.4

Multiplica $5 i (- i)$ .

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Paso 2.2.4.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.4.2

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i)}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.4.3

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 (i^{1} i^{1})}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{1 + 1}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 i^{2}}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.5

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i - 5 \cdot - 1}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 1$ .

$\frac{10 - 5 i + 10 i + 5}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.2

Suma $10$ y $5$ .

$\frac{15 - 5 i + 10 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.2.4.3

Suma $- 5 i$ y $10 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{(2 + 1 i) (2 - i)}$

Paso 2.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.3.1

Expande $(2 + 1 i) (2 - i)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 2.3.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 (2 - i) + 1 i (2 - i)}$

Paso 2.3.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i (2 - i)}$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{15 + 5 i}{2 \cdot 2 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2

Simplifica.

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Paso 2.3.2.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 2 (- i) + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.2

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 1 i \cdot 2 + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i + 1 i (- i)}$

Paso 2.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i i}$

Paso 2.3.2.5

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i)}$

Paso 2.3.2.6

Eleva $i$ a la potencia de $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - (i^{1} i^{1})}$

Paso 2.3.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{1 + 1}}$

Paso 2.3.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - 2 i + 2 i - i^{2}}$

Paso 2.3.2.9

Suma $- 2 i$ y $2 i$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 0 - i^{2}}$

Paso 2.3.2.10

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - i^{2}}$

Paso 2.3.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.3.1

Reescribe $i^{2}$ como $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 - - 1}$

Paso 2.3.3.2

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{15 + 5 i}{4 + 1}$

Paso 2.3.4

Suma $4$ y $1$ .

$\frac{15 + 5 i}{5}$

Paso 3

Cancela el factor común de $15 + 5 i$ y $5$ .

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Paso 3.1

Factoriza $5$ de $15$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 i}{5}$

Paso 3.2

Factoriza $5$ de $5 i$ .

$\frac{5 \cdot 3 + 5 (i)}{5}$

Paso 3.3

Factoriza $5$ de $5 (3) + 5 (i)$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5}$

Paso 3.4

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{5 (3 + i)}{5 (1)}$

Paso 3.4.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (3 + i)}{5 \cdot 1}$

Paso 3.4.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 + i}{1}$

Paso 3.4.4

Divide $3 + i$ por $1$ .

$3 + i$