Precálculo Ejemplos

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

Paso 1

Obtén la ecuación ordinaria de la hipérbola.

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Paso 1.1

Completa el cuadrado de $- 54 x + 9 x^{2}$ .

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Paso 1.1.1

Reordena $- 54 x$ y $9 x^{2}$ .

$9 x^{2} - 54 x$

Paso 1.1.2

Usa la forma $a x^{2} + b x + c$ , para obtener los valores de $a$ , $b$ y $c$ .

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

Paso 1.1.3

Considera la forma de vértice de una parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Paso 1.1.4

Obtén el valor de $d$ con la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Paso 1.1.4.1

Sustituye los valores de $a$ y $b$ en la fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.4.2.1

Cancela el factor común de $- 54$ y $2$ .

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Paso 1.1.4.2.1.1

Factoriza $2$ de $- 54$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.1.2.1

Factoriza $2$ de $2 \cdot 9$ .

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

Paso 1.1.4.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

Paso 1.1.4.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 27}{9}$

Paso 1.1.4.2.2

Cancela el factor común de $- 27$ y $9$ .

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Paso 1.1.4.2.2.1

Factoriza $9$ de $- 27$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

Paso 1.1.4.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.4.2.2.2.1

Factoriza $9$ de $9$ .

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

Paso 1.1.4.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

Paso 1.1.4.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$d = \frac{- 3}{1}$

Paso 1.1.4.2.2.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$d = - 3$

Paso 1.1.5

Obtén el valor de $e$ con la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Paso 1.1.5.1

Sustituye los valores de $c$ , $b$ y $a$ en la fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.5.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.1.5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.5.2.1.1

Eleva $- 54$ a la potencia de $2$ .

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

Paso 1.1.5.2.1.2

Multiplica $4$ por $9$ .

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

Paso 1.1.5.2.1.3

Divide $2916$ por $36$ .

$e = 0 - 1 \cdot 81$

Paso 1.1.5.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $81$ .

$e = 0 - 81$

Paso 1.1.5.2.2

Resta $81$ de $0$ .

$e = - 81$

Paso 1.1.6

Sustituye los valores de $a$ , $d$ y $e$ en la forma de vértice $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ .

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

Paso 1.2

Sustituye $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ por $- 54 x + 9 x^{2}$ en la ecuación $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

Paso 1.3

Mueve $- 81$ al lado derecho de la ecuación mediante la suma de $81$ a ambos lados.

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

Paso 1.4

Suma $63$ y $81$ .

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

Paso 1.5

Divide cada término por $144$ para que el lado derecho sea igual a uno.

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

Paso 1.6

Simplifica cada término en la ecuación para establecer el lado derecho igual a $1$ . La ecuación ordinaria de una elipse o hipérbola requiere que el lado derecho de la ecuación sea $1$ .

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

Paso 2

Esta es la forma de una hipérbola. Usa esta forma para determinar los valores usados a fin de obtener las asíntotas y la hipérbola.

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Paso 3

Haz coincidir los valores de esta hipérbola con los de la ecuación ordinaria. La variable $h$ representa el desplazamiento de x desde el origen, $k$ representa el desplazamiento de y desde el origen, $a$ .

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

Paso 4

Las asíntotas siguen la forma $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ porque esta hipérbola abre hacia la izquierda y la derecha.

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Paso 5

Simplifica para obtener la primera asíntota.

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Paso 5.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Paso 5.2

Simplifica $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Paso 5.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 5.2.1.1

Suma $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ y $0$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Paso 5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Paso 5.2.3

Combina $\frac{3}{4}$ y $x$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

Paso 5.2.4

Multiplica $\frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Paso 5.2.4.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $3$ por $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

Paso 5.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

Paso 6

Simplifica para obtener la segunda asíntota.

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Paso 6.1

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

Paso 6.2

Simplifica $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ .

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Paso 6.2.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.2.1.1

Suma $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ y $0$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

Paso 6.2.1.2

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

Paso 6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Paso 6.2.3

Combina $x$ y $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

Paso 6.2.4

Multiplica $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ .

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $- 3$ por $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

Paso 6.2.4.2

Combina $3$ y $\frac{3}{4}$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

Paso 6.2.4.3

Multiplica $3$ por $3$ .

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 6.2.5

Mueve $3$ a la izquierda de $x$ .

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 7

Esta hipérbola tiene dos asíntotas.

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 8

Las asíntotas son $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ y $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ .

Asíntotas: $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

Paso 9