Precálculo Ejemplos

$R (x) = \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ no está definida.

$x = - 1, x = 2$

Paso 2

Como $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la izquierda y $\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - x - 2}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- 1$ desde la derecha, entonces $x = - 1$ es una asíntota vertical.

$x = - 1$

Paso 3

Considera la función racional $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ donde $n$ es el grado del numerador y $m$ es el grado del denominador.

1. Si $n < m$ , entonces el eje x, $y = 0$ , es la asíntota horizontal.

2. Si $n = m$ , entonces la asíntota horizontal es la línea $y = \frac{a}{b}$ .

3. Si $n > m$ , entonces no hay asíntota horizontal (hay una asíntota oblicua).

Paso 4

Obtén $n$ y $m$ .

$n = 3$

$m = 2$

Paso 5

Como $n > m$ , no hay asíntota horizontal.

No hay asíntotas horizontales

Paso 6

Obtén la asíntota oblicua mediante la división polinómica.

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Paso 6.1

Simplifica la expresión.

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Paso 6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{3} - 2^{3}}{x^{2} - x - 2}$

Paso 6.1.1.2

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + x \cdot 2 + 2^{2})}{x^{2} - x - 2}$

Paso 6.1.1.3

Simplifica.

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Paso 6.1.1.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 \cdot x + 2^{2})}{x^{2} - x - 2}$

Paso 6.1.1.3.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{x^{2} - x - 2}$

Paso 6.1.2

Factoriza $x^{2} - x - 2$ con el método AC.

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Paso 6.1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $- 2$ y cuya suma es $- 1$ .

$- 2, 1$

Paso 6.1.2.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 6.1.3

Cancela el factor común de $x - 2$ .

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Paso 6.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 1)}$

Paso 6.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 1}$

Paso 6.2

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$x$

$1$

$x^{2}$

$2 x$

$4$

Paso 6.3

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

					$x$
	$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$

Paso 6.4

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			+	$x^{2}$	+	$x$

Paso 6.5

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x^{2} + x$ .

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$

Paso 6.6

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$

Paso 6.7

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$x$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$

Paso 6.8

Divide el término de mayor orden en el dividendo $x$ por el término de mayor orden en el divisor $x$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$

Paso 6.9

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					+	$x$	+	$1$

Paso 6.10

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $x + 1$ .

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					-	$x$	-	$1$

Paso 6.11

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$x$	+	$1$
$x$	+	$1$		$x^{2}$	+	$2 x$	+	$4$
			-	$x^{2}$	-	$x$
					+	$x$	+	$4$
					-	$x$	-	$1$
							+	$3$

Paso 6.12

La respuesta final es el cociente más el resto sobre el divisor.

$x + 1 + \frac{3}{x + 1}$

Paso 6.13

Divide la solución en la parte polinómica y el resto.

$x + 1 + \frac{3 x - 6}{x^{2} - x - 2}$

Paso 6.14

La asíntota oblicua es la parte polinómica del resultado de la división larga.

$y = x + 1$

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - 1$

No hay asíntotas horizontales

Asíntotas oblicuas: $y = x + 1$

Paso 8