Precálculo Ejemplos

$x^{2} - 4 y^{2} = 1$

Paso 1

Resta $x^{2}$ de ambos lados de la ecuación.

$- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$

Paso 2

Divide cada término en $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 4$ y simplifica.

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Paso 2.1

Divide cada término en $- 4 y^{2} = 1 - x^{2}$ por $- 4$ .

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Paso 2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.1

Cancela el factor común de $- 4$ .

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Paso 2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 4 y^{2}}{- 4} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Paso 2.2.1.2

Divide $y^{2}$ por $1$ .

$y^{2} = \frac{1}{- 4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Paso 2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.3.1.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{- x^{2}}{- 4}$

Paso 2.3.1.2

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$y^{2} = - \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}$

Paso 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$

Paso 4

Simplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{4}}$ .

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Paso 4.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + \frac{x^{2}}{2^{2}}}$

Paso 4.2

Reescribe $\frac{x^{2}}{2^{2}}$ como ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{4} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 4.3

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.1

Reescribe $\frac{1}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{- {(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{x}{2})}^{2}}$

Paso 4.3.2

Reordena $- {(\frac{1}{2})}^{2}$ y ${(\frac{x}{2})}^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 4.4

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \frac{x}{2}$ y $b = \frac{1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{1}{2}) (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Paso 4.5

Simplifica los términos.

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Paso 4.5.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} (\frac{x}{2} - \frac{1}{2})}$

Paso 4.5.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \pm \sqrt{\frac{x + 1}{2} \cdot \frac{x - 1}{2}}$

Paso 4.5.3

Multiplica $\frac{x + 1}{2}$ por $\frac{x - 1}{2}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{2 \cdot 2}}$

Paso 4.5.4

Multiplica $2$ por $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}}$

Paso 4.6

Reescribe $\frac{(x + 1) (x - 1)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))$ .

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Paso 4.6.1

Factoriza la potencia perfecta $1^{2}$ de $(x + 1) (x - 1)$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{4}}$

Paso 4.6.2

Factoriza la potencia perfecta $2^{2}$ de $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}}$

Paso 4.6.3

Reorganiza la fracción $\frac{1^{2} ((x + 1) (x - 1))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 1) (x - 1))}$

Paso 4.7

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

Paso 4.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Paso 5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Paso 5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Paso 5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$

Paso 6

Para reescribir como una función de $x$ , escribe la ecuación para que $y$ quede por sí sola a un lado del signo igual y una expresión que solo involucra $x$ quede al otro lado.

$f (x) = \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}, - \frac{\sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{2}$